Задача 1 (продолжение)

•В компактной и наглядной форме процесс тождественного преобразования слова можно представить в виде графа переходов (рис. 4.3.).

•Кружочками изображаются состояния процесса: q1 – просмотр слова слева направо, q2 – просмотр слова справа налево. Дугами – переходы из одного состояния в другое (возможно и подтверждение старого состояния). Дуги имеют метки: в числителе записывается считываемая головкой буква (через запятую представлены буквы, считывание каждой из которых инициирует один и тот же переход (подтверждение) из состояния в состояние), а в знаменателе – буква, обозначающая или перемещение головки (R – вправо на одну позицию, L – влево на одну позицию, – позиция остается неизменной), и/или собственно букву, записываемую в обозреваемую ячейку.

•Другой возможной формой, привлекаемой для задания программы машины Тьюринга, выполнение которой приводит к процессу вычислений, является табличная (рис. 4.4.).

Рис.4.3. Граф переходов процесса тождественного преобразования слов в алфавите {0, 1} (B – пустой

Рис. 4.4. Табличная форма задания программы машины Тьюринга

0

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B … 2

… B B 0 1 1 0 B B … 2

… B B 0 1 1 0 B B … 2

… B B 0 1 1 0 B B … 2

… B B 0 1 1 0 B B … 2

… B B 0 1 1 0 B B … 1

… B B 0 1 1 0 B B …

Рис. 4.5. Процесс тождественного преобразования слова

•Даны две конечные совокупности палочек, представляющих соответственно первое и второе слагаемое. Требуется получить третью, представляющую сумму. Палочки в каждой совокупности вписываются по одной в каждую ячейку, ячейки берутся подряд без пропусков (такие совокупности будем называть наборами палочек); исходные наборы разделены пустой ячейкой, отмеченной символом B. Результирующий набор (сумма) может быть расположен в тех же ячейках ленты, в которых заданы наборы-слагаемые.

•Чтобы приспособить машину Тьюринга для вычисления числовых функций, надо договориться о представлении чисел на ленте.

Рис. 4.7. Граф переходов процесса суммирования чисел в унарном представлении

Возможный вариант графа переходов представлен на рис. 4.9.

Здесь “палочка” представлена |, неизменное положение головки ; “,” – в числителе дроби, которая помечает дугу графа, обозначает ИЛИ.

Работа машины представлена последовательностью конфигураций, изображенной на рис. 4.10. Начальные условия: в “поле зрения” головки установлена самая правая палочка из набора, представляющего первое слагаемое. Машина находится в конфигурации 1.

первую палочку, записывает в ячейку символ и сдвигается вправо на одну ячейку, переходя в состояние q2. На втором шаге под воздействием | головка сдвигается вправо, подтверждая свое состояние. На третьем шаге в “поле зрения” головки попадает *, на которую согласно графу переходов машина реагирует точно так же, как и на считываемую |, т.е. подтверждает состояние q2, а головка сдвигается вправо. Четвертый шаг аналогичен второму шагу. На пятом шаге под воздействием пустого символа B изменяется состояние головки с q2 на q3. При этом в наблюдаемую ячейку записывается палочка, и головка сдвигается влево. Благодаря описанным действиям первая палочка из набора, стоящая левее *, перенесена в ячейку, непосредственно следующую за набором, стоящим правее *. На место первой перенесенной палочки оказалась помещенной буква , которая пометила своим присутствием ячейку, из которой произошел перенос палочки в правый набор палочек, где формируется искомый результат суммирования. Шестой, седьмой, восьмой шаги состоят в перемещении головки справа налево по ленте с подтверждением состояния q3. На девятом шаге под воздействием меняется состояние машины с q3 на q1. При этом головка сдвигается вправо. Машина завершила цикл работы по переносу палочки из набора слева от * в результирующий набор, расположенный справа от *. В результате выполнения 10, 11, 12, …, 18-го шагов реализуется второй цикл по переносу второй палочки из левостороннего (относительно *) набора палочек в результирующий набор. Шаги 19, 20 и 21-й позволяют восстановить исходный левосторонний набор палочек. 22-й шаг приводит к заключительному состоянию q5, в котором машина остается до тех пор, пока не поступит извне сигнал ПУСК, обусловливающий переход машины из заключительного состояния q5 в начальное q1, причем головка сдвигается при этом вправо, занимая исходное положение, соответствующее конфигурации строки 1 на рис. 4.10. Далее описанный выше процесс повторяется, в результате чего осуществляется очередной перенос левостороннего набора палочек в результирующий набор, а машина попадает в заключительное состояние q5 и т.д.

Рис. 4.10. Процесс повторного сложения чисел в унарной форме

Рис. 4.13. Граф переходов процесса реализации инкремента числа в десятичной записи

Условимся, что заданное число n, а также результирующее число n+1, представлены последовательностью цифр, причем цифры размещены по одной в ячейке (ячейки следуют одна за другой без пропусков). Слева и справа запись числа ограничена пустыми символами B. Принято допущение о том, что длина записи числа неизменна. Запись, состоящая сплошь из девяток, при выполнении инкремента соответствующего числа обращается в запись из всех нулей, причем число нулей и девяток совпадает. Образующийся при этом перенос в старший разряд записи числа во внимание не принимается.