Автоматизация формальных

символьных манипуляций.

Абстрактная вычислительная машина.

Лекция 8.

Машина Тьюринга былаМашинапредложена в качествеТьюрингамодели алгоритма в 30-е годы прошлого столетия. Она была придумана не для того, чтобы производить на ней реальные вычисления, а для того, чтобы показать, что любой сколь угодно сложный алгоритм можно построить из очень простых процессов (операций), не допускающих какой-либо двусмысленности в их толковании. При этом сами операции и переход от одной операции к другой выполняются автоматически, с помощью простых технических средств.

Машина состоит из трех частей (рис. 4.1): ленты, головки и управляющего устройства. Лента бесконечна в обе стороны, разбита на ячейки. В каждой ячейке может быть записана

только одна буква из алфавита машины A = {a1, …, ak, …, aK}. Отсутствие буквы в ячейке

обозначается. специальным (“пустым”) символом. Головка всегда расположена над некоторой ячейкой ленты. Она может читать и писать буквы, стирать их, а также перемещаться вдоль ленты. Головка на каждом шаге работы находится в одном из состояний, образующих конечное

Программа машины

Тьюринга

Программой машины Тьюринга называется конечный непустой список команд (правил) машины Тьюринга, занумерованный последовательно числами 1, 2, 3, …, M.

Естественно также потребовать, чтобы значения всех операндов в командах программы не выходили за пределы диапазона номеров, использованных для нумерации команд в этой программе.

Отметим также, что для представления слов, с которыми работает машина, можно без каких-либо ограничений общности рассматривать алфавит { , }, содержащий лишь две буквы. Действительно, все, что можно записать в бесконечном алфавите 1, 2, …, можно воспроизвести и в алфавите { , }: для этого достаточно закодировать буквы 1, 2, … словами вида , , … .

Если теперь, задавшись программой и какой-либо начальной конфигурацией (т.е. положением головки и словом на ленте), пустить машину в ход, то осуществится один из следующих трех вариантов:

1.Произойдет рабочий шаг машины.

2.Произойдет результативная остановка при выполнении команды СТОП. Соответствующая конфигурация машины представляет результат выполнения программы.

3.Машина “зациклится”, т.е. работа машины продолжается бесконечно.

Тезис Тьюринга

• Интуитивное понятие алгоритма равнообъемно с точным понятием

алгоритма Тьюринга.

• Другими словами для любой вычислимой функции (т.е. функции, для которой существует вычисляющий ее алгоритм) можно построить машину, которая ее вычисляет. Это и означает, что машина Тьюринга является универсальной алгоритмической моделью.

•Одна часть тезиса Тьюринга очевидна – всякий алгоритм Тьюринга является несомненно алгоритмом и в интуитивном смысле. Действительно, если дан алгоритм Тьюринга, мы можем выполнить его для произвольных исходных данных (начальная разметка ленты, начальное положение головки). Каждый шаг работы машины вполне точен и общепонятен. Значит, и результат обработки данных будет вполне определенным.

•Вторая часть тезиса – основная. Она утверждает, что всякий алгоритм в интуитивном смысле является и алгоритмом Тьюринга. Подчеркнем, что эта часть тезиса Тьюринга ни в коей мере не является математическим утверждением, а представляет собой естественнонаучный закон о границах алгоритмических способностей человека. Таким образом, и весь тезис Тьюринга выражает закон природы, а не математическое утверждение, установленное логическим путем.

•К числу убедительных соображений, подтверждающих этот тезис, относится тот факт, что многие сильно различающиеся подходы к уточнению понятия алгоритма (исчисление равенств (Гёдель), -определимость (Чёрчь), абстрактные машины (Пост), нормальные алгоритмы (Марков) и целый ряд других) оказались эквивалентными. В каждом из этих подходов справедлив свой “закон природы”, аналогичный тезису Тьюринга/.

•/ Успенский В.А. Машина Поста / 2-е изд. – М: Наука, 1988. – 95 с.

•Машина Тьюринга крайне проста. Вместе с тем эта модель отражает существенные свойства любой вычислительной машины в смысле того, что эти машины вообще могут делать, и как они это делают.

•Прежде всего, в этой формальной системе не видно понятия символа как элемента, который что-то обозначает. Данные рассматриваются просто как конечные последовательности букв некоторого алфавита. Это обстоятельство, а именно нейтральность данных, существенна для сведения вычислений к физическим процессам. Далее, действия по обработке данных регламентируются соответствующими им состояниями управляющего устройства машины. Его память конечна и выступает, по существу, в качестве хранилища совокупности знаний системы. То, что было достигнуто на этом этапе развития теории вычислений, во многом способствовало прояснению принципа интерпретации, относящегося к числу важнейших в информатике: было показано, что машина может действовать, исходя из описания процесса вычислений. В прагматическом отношении суть этого этапа состоит в автоматизации формальных символьных манипуляций.

•В этой связи следует особо отметить, что возникновение электронных вычислительных машин нельзя рассматривать как результат развития только инженерного изобретательства и электронной техники. Действительно, применение электронной техники обеспечивает большую экономию во времени при реализации элементарных операций, совершаемых машиной. Однако главнейшая черта этих машин – автоматическое управление процессами обработки данных – не является следствием применения электронной техники. Основной вклад в решение этой принципиально важной для развития информатики проблемы принадлежит математическим логикам, сформулировавшим понятие абстрактной вычислительной машины.

4.2. Вычисления на машинах

Тьюринга

Составление алгоритма отнюдь не легкое дело. Оно может потребовать глубокого анализа содержания рассматриваемой задачи и изобретательности. Если же мы хотим представить в виде

тьюринговой программы алгоритм, первоначально описанный на иных алгоритмических языках (как правило, уровня более высокого, чем язык машины Тьюринга), то у нас возникают дополнительные трудности; они как раз и связаны с чрезвычайной простотой операций машины Тьюринга и крайне ограниченным доступом машины к ее внешней памяти. Напомним, что на каждом такте происходит преобразование лишь в одной ячейке и возможен сдвиг лишь в соседнюю ячейку. Хотя формально в определении машины Тьюринга идет речь о бесконечной ленте, на самом деле имеют значение лишь конечные ее куски. В тех случаях, когда памяти не хватает (головка доходит до края ленты), эти куски можно удлинять. Математики такие объекты связывают с понятием потенциально бесконечного множества (в отличие от актуально бесконечного множества, когда множество в виде абстрактного бесконечного объекта вводится в рассмотрение изначально). В этой связи правильнее рассматривать машину Тьюринга не как бесконечную машину, а как растущую.

При рассмотрении задач мы будем использовать два варианта машины Тьюринга. Первый (назовем

.

Задачи

•Условимся еще в определенном стандартном задании исходной и результирующей информации при вычислениях на машинах Тьюринга. Как уже указывалось, эта информация изображается в виде исходного слова P в алфавите машины A и результирующего слова R в том же самом алфавите. Примем соглашение о том, какие ячейки должны обозреваться в начале и в конце вычисления. Если противное не оговорено, то в начальной и заключительной конфигурациях должен обозреваться первый символ слова P или соответственно слова R. В этом случае будем говорить о стандартном изображении слов P и R посредством начальной и заключительной конфигурации. Если машина Тьюринга F перерабатывает слово P, изображенное стандартно, в слово R, также изображенное стандартно, то это будем записывать так: R = F(P).

•Задача 1. Оператор тождественного преобразования R = E(P) перерабатывает каждое слово P в некотором заданном алфавите в это же самое слово P: E(P) = P.

•Примем для определенности алфавит машины, состоящим из трех букв {0, 1, B}:

•0, 1 – используется для представления информации на ленте;

•B – обозначает отсутствие информации в ячейке ленты (пустой символ).

•В основу алгоритма можно положить следующие соображения. Слово P занимает некоторую часть ленты, отличающуюся от остальной части ленты заполненными нулями либо единицами ячейками. Тождественное преобразование состоит в подтверждении содержания этих ячеек путем последовательного их просмотра перемещающейся головкой, начиная с исходной позиции слева направо. При достижении правой границы слова состояние машины должно измениться с тем, чтобы обеспечить обратное движение (справа налево) головки. На обратном пути каких-либо изменений содержимого ячеек памяти происходить не должно. Переход из этого состояния в первое (исходное) должен произойти при достижении возвращающейся головки левой границы преобразуемого слова P. Переход в это состояние сопровождается сдвигом головки вправо на одну позицию с тем, чтобы она заняла исходное положение.