Экзамен / ekzamenatsionnnye_voprosy2014-2015

Вопросы по экзамену дискретная математика

2014-2015 учебный год

1. Множества и подмножества. Булевы операции. Алгебраические законы с доказательствами. Функция. Тождественная функция. Левая и правая декомпозиция. Лемма о композиции.

2. Инъекция, сюръекция, биекция, характеристическая функция. Обратные функции. Две теоремы об обратимости функции. Функции из S в S. Декартово произведение множеств, степень множества.

3. Бинарные отношения. График бинарного отношения. Бинарные отношения и функции. Характеристическая функция графика бинарного отношения. Матрица отношения. Булевы операции (с доказательствами). Алгебра отношений. Бинарные отношения на S.

4. Частичное упорядочение. Принцип двойственности. Лемма о наибольших и наименьших элементах. Доминирование. Теорема о доминировании. Минимальный и максимальный элемент. Теорема о нумерации элементов конечного частично упорядоченного множества. Верхняя и нижняя границы. Лемма о границах. Разбиение и отношение эквивалентности. Теорема о классах эквивалентности. Классы эквивалентности. Факторизация множества.

5. Графы. Основные определения. Ориентированные и неориентированные графы. Теорема о связности графа и его дополнения. Лемма о рукопожатиях. Теорема о нечетных вершинах. Теорема о вершинах с одинаковыми степенями.

6. Эйлеров граф. Теорема об эйлеровом графе. Гамильтонов граф. Теоремы Оре, Дирака, Хватала, Поша (формулировки).

7. Двудольный граф. Теорема Кенига. Теорема о сумме степеней двудольного графа.

8. Произведение, сумма, композиция графов. Три теоремы о петлях. Общий вид записи операций произведения, суммы и композиции. Операции над графами в терминах бинарных отношений. Три теоремы о связи бинарных отношений и операций над графами.

9. Представление графов. Представление графа . Теорема о представлении произведения графов. Теорема о представлении суммы графов. Теорема о представлении композиции графов. Общий вид записи операций произведения, суммы и композиции.

10. Раскраска графа. Хроматическое число. m-раскрашиваемый, m-хроматический граф. Критические и реберно-критические графы. Теорема о хроматическом числе композиции графов. Теорема о хроматическом числе произведения графов.

11. Фактор степени вершины. Преобразования раскраски. m-приведенная раскраска. Теорема о раскраске критического графа. Теорема о хроматическом числе суммы графов.

12. Функции алгебры логики. Основные понятия. Элементарные функции и их свойства. Двойственная функция. Теорема о двойственной функции. Принцип двойственности. Дизъюнктивно-нормальная форма. Совершенно дизъюнктивно-нормальная форма. Теорема о разложении. Теорема о представлении функции алгебры логики. Конъюнктивно-нормальная форма. Совершенно конъюнктивно-нормальная форма.

13. Полнота. Теорема о полноте. Примеры полных систем. Теорема Жегалкина. Замыкание множества. Замкнутое множество. Важнейшие замкнутые классы (перечисление).

14. Важнейшие замкнутые классы. Монотонная функция. Лемма о немонотонной функции. Лемма о нелинейной функции.

15. Лемма о несамодвойственной функции. Полнота. Теорема о функциональной полноте. Следствия.

16. Конечные автоматы. Принцип работы. Покрытие автоматов. Эквивалентность автоматов. Эквивалентные состояния. Две теоремы об неэквивалентных состояниях. Минимизация автоматов.

17. Не полностью определенные автоматы. Допустимая входная последовательность. Покрывающие автоматы. Совместимость выходных строк. Совместимость по выходу. Совместимые состояния.

18. Машина Тьюринга (МТ), ее устройство. Детерминированная МТ. Полнота по Тьюрингу, тест Тьюринга, универсальная МТ, вероятностная МТ.

19. Доказательство существования невычислимых функций (алгоритмически неразрешимых задач).

20. Продуктивность машины Тьюринга. Свойства функции p(n) - максимальной продуктивности машины Тьюринга с n состояниями.

21. Алгоритмическая неразрешимость задачи вычисления функции p(n).

22. Трудоемкость алгоритмов. Лучший, средний и худший случай при решении различных задач размерности N. Классификация алгоритмов по виду функции трудоемкости. Элементарные операции, трудоемкость «следования», «цикла». Временные оценки. Сложность алгоритма. Асимптотический анализ функций.

23. Функциональный теоретический нижний предел трудоемкости в худшем случае. Сложностные классы задач (класс Р, класс NP, класс NPC). Основные задачи класса NPC.