Лекции / VOPROSY_K_EKZAMENU_2_semestr
.docВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (2 СЕМЕСТР, 2012/2013)
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента.
Производная вектор-функции и ее свойства. Формула Тейлора.
Вектор-функция постоянной длины и вектор-функция постоянного направления. Теоремы. Интеграл вектор-функции.
Векторная функция нескольких аргументов.
Понятие кривой. Простая кривая. Регулярная кривая.
Касательная к кривой. Нормальная плоскость кривой.
Соприкасающаяся плоскость кривой. Спрямляющая плоскость кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
Длина дуги кривой.
Естественная параметризация.
Кривизна кривой.
Кручение кривой.
Сопровождающий трехгранник кривой. Формулы Френе.
Взаимное расположение кривой и граней сопровождающего трехгранника.
Натуральные уравнения кривой. Теорема.
Неявное уравнение плоской кривой.
Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых.
Понятие поверхности. Простая поверхность. Регулярная поверхность.
Касательная прямая к поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. Кривизна нормального сечения.
Поверхности вращения.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
Линейное подпространство. Операции над множествами. Сопряженное множество. Сопряженное подпространство.
Линейная оболочка множества. Сумма и пересечение линейных подпространств.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о множестве решений однородной системы. Следствия.
Теорема о существовании решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Ее геометрическая интерпретация.
Многомерные плоскости. Сумма и пересечение плоскостей.
Взаимное расположение многомерных плоскостей. Плоскости минимальной размерности.
Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множеств.
Выпуклые многогранники. Теорема.
Выпуклые конусы. Алгебра выпуклых конусов.
Коническая оболочка множеств.
Отделимость выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости.
Теорема о неотрицательных решениях систем линейных уравнений.
Конечные конусы. Теорема двойственности.
Неявное уравнение конечного конуса. Алгебра конечных конусов.
Крайние векторы выпуклых конусов. Теорема о конечном заостренном конусе.
Выпуклые многогранные множества. Теорема о структуре выпуклого многогранника.
Размерность многогранного множества. Теорема.
Выпуклый многогранный конус. Теорема.
Грани многогранного множества. Теорема о вершине многогранного множества.
Характеристика крайних решений (теорема).
Параметрические уравнения многогранного множества (регулярный случай).
Теорема о представлении выпуклого многогранного множества (общий случай).