Решение.

Требуемое число n найдем по формуле (1.25). Имеем:

p = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:

Откуда находим

По таблице значений функции Φ(x) находим, что

Задача. 1.5.5 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя

1. ровно 10 конденсаторов;

2. не менее 20 конденсаторов;

3. менее 28 конденсаторов;

4. от 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Имеем п = 100, p = 0.2, q = 1 - p = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Вычислим

Так как функция φ(х) — четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность

2. Не менее 20 конденсаторов;

Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вы­шли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, т₁ = 20, т₂ =100. Тогда

По таблице значений функции Φ(x) найдем Φ(x₁) = Φ(0) = 0, Φ(x₂) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:

3. Менее 28 конденсаторов;

(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечет­ная).

4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию m1= 14, m₂ = 26. Вычислим x ₁,x₂:

Задача. 1.5.6 Вероятность появления некоторого собы­тия в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?

Решение. Количество m появлений события в серии ис­пытаний находится в промежутке [0; 60]. «В большинстве опытов» означает, что m принадлежит промежутку [30, 60.] По условию n = 60, p = 0.6, q = 0.4, m₁ = 30, m₂ = 60. Вычислим x₁ и x₂:

Случайные величины и их распределения

Задача. 2.1.1 Дана таблица, где в верхней строке указа­ны возможные значения случайной величины X, а в нижней — их вероятности.

Может ли эта таблица быть рядом распределения X?

Ответ: Да, так как p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ = 1

Задача. 2.1.2 Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 руб., 20 билетов — по 50000 руб., 10 билетов — по 100000 руб., 5 билетов — по 200000 руб., 1 билет — 500000 руб., осталь­ные — без выигрыша. Найти закон распределения выигры­ша для владельца одного билета.

Решение.

Возможные значения X: x₅ = 10000, x₄ = 50000, x₃ = 100000, x₂ = 200000, x₁ = 500000, x₆ = 0. Вероятности этих возможных значений:

Искомый закон распределения:

Задача. 2.1.3 Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределе­ния числа использованных патронов, найти функцию рас­пределения F(x) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).

Решение.

Пространство элементарных событий опыта

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных па­тронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности воз­можных значений:

p₁ = P(x₁ = 1) = P(1) = 0.7; p2 = P(x₂ = 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;

p₃ = P(x₃ = 3) = P(001) = 0.3² · 0.7 = 0.063;

p₄ = P(x₄ = 4) = P(0001) = 0.3³ · 0.7 = 0.0189;

p₅ = P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.3⁴ · 0.7 + 0.3⁵ = 0.0081.

Искомый закон распределения:

Найдем функцию распределения F(x), пользуясь формулой (2.5)

x ≤1, F(x) = P(X < x) = 0

1. < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P₁(X₁ = 1) = 0.7

2. < x ≤ 3, F(x) = P₁(X = 1) + P₂(x = 2) = 0.91

3. < x ≤ 4, F(x) = P₁ (x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P₁(x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) +

+P₄(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

x > 5, F(x) = 1

Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < x < 5) = F(5) — F(2) = 0.9919 — 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4 Дана F(x) некоторой случайной величины:

Записать ряд распределения дляX.