учебники / Лекции

Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского – Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство в (3.3) достигается только при условии, что

Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t):

- импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала:

Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением: uc(t) = Um(l-t/T), при 0 < t < T,

Соответствующий треугольный сигнальный импульс и импульсная реакция согласованного с ним фильтра имеют вид рис.3.1а,б.

Рис.3.1.

Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):

100

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра |К(jω)| с точностью до постоянного множителя A совпадает с

Рассмотрим характеристики фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным импульсом (рис.3.2). Такой импульс описывается выражением:

u(t)=Um, при -0,5Т < t < 0,5Т ;

где Um,T - амплитуда и длительность импульса, соответственно.

Рис.3.2.

Спектр этого импульса равен:

S(j ω)=UmTsin(ω T/2)/( ω T/2). (3.9)

Следовательно, АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом равна:

На рис.3.3 нарисована АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом длительностью Т.

101

Потенциальная помехоустойчивость такого приемника совпадает с помехоустойчивостью оптимального приемника.

3.2. Шумоподобные сигналы (Ш П С).

Одна из трудноразрешимых проблем при разработке новых систем связи – проблема нахождения оптимальных систем сигналов, реализующих максимальные скорость передачи и помехоустойчивость приема. Для

многолучевых каналов мобильной связи устойчивую связь можно получить, в частности, используя сложные, шумоподобные сигналы. К таким

сигналам относятся М-последовательности, коды Баркера, функции Уолша и

т.п. Сложные или шумоподобные сигналы называют также

псевдослучайными последовательностями (ПСП). Псевдослучайная последовательность - это последовательность 1 и -1, которые генерируются по определенным известным правилам, но внешне напоминают реализацию шума. По этой причине такие последовательноси называются также

выбирают так, чтобы их автокорреляционная функция имела явно выраженный максимум, а взаимокорреляционная функция была близка к нулю.

Рассмотрим свойства М-последовательностей, которые являются разновидностью линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП).

Устройство, генерирующее ЛРП состоит из элементов памяти и сумматоров по модулю 2. Эти операции делает регистр сдвига с обратными

103

связями. ЛРП задаётся производящей функцией G(x), под которой понимают формальный степенной ряд :

в последовательности (i=0 – первый символ слева).

Например : 10110= а0 х0 Å а1 х1 Å а2 х2 Å а3 х3 Å а4 х4=1 Å х2 Å х3 ;

так как: а0 =1 ; а1=0 ; а2 =1 ; а3 =1; а4=0 .

Производящую функцию можно представить в виде:

многочлен Степень ЛРП равна памяти регистра сдвига. Задаваясь разными многочленами g(x) и f (x), можно получить разные ЛРП. Например, пусть g(x)=1,

f (x)= 1 Å х2 Å х5. В результате деления g(x) на f(x) получим последовательность: 1010110101….., т.е. некоторую ЛРП.

Каждому характеристическому многочлену степени k соответствует некоторое множество последовательностей с периодом Ni , определяющим циклическую структуру данной последовательности. Если период ЛРП равен N=2k -1, то такие последовательности называются последовательностями максимального периода или М – последовательностями. Если данная ЛРП

является М-последовательностью, то её характеристический многочлен f(x) - неприводимый многочлен, т.е. его нельзя разложить на произведение двух

или более многочленов. Существуют таблицы неприводимых многочленов разных степеней. Например, существует 4 двоичных многочлена 2-ой степени, из которых:

-(х)2 =(х)(х) - приводимый;

-х2 Å1=(хÅ1)(х Å1) – приводимый,

т.к. (хÅ1)(х Å1) =( х2 Åх Åх Å1)= х2 Å1; при выполнении умножения

следует помнить, что х Åх=0;

-х2 Åх =х(хÅ1) – приводимый;

-х2 ÅxÅ1 – неприводимый.

Структурные свойства М – последовательностей:

1.Период М – последовательности равен N=2k –1, где k – степень характеристического многочлена.

2.М – последовательности имеют максимальный период среди ЛРП с равными степенями характеристического многочлена.

3. В М – последовательности порядка k содержатся все кодовые комбинации из k символов, кроме комбинации из одних нулей, причем каждая комбинация встречается только один раз. Например, М –

104

последовательность порядка k=3 имеет вид:001011100101110010111….. Её период N = 23 –1 =7 и содержит последовательность 0010111. Последовательность из 18 импульсов содержит все возможные комбинации из 3-х импульсов 001,011,100,101,110,010,111.

4.В одном периоде М – последовательности порядка k содержится 2k-1 «единиц» и (2k-1–1) « нулей».

5.Корреляционные свойства М – последовательностей.

Наиболее общей характеристикой корреляционных свойств М – последовательностей является взаимная функция неопределенности

(ВФН) Rjk(τ,Ω):

Сечение ВНФ при Ω=0 дает взаимную корреляционную функцию Rjk(τ). Если j=k , то выражение (3.20) даёт функцию неопределённости ФН. При

j=k и Ω=0 получим из (3.20) нормированную автокорреляционную функцию, связанную преобразованием Винера-Хинчина с энергетическим

Если М – последовательность периодически повторяется с временным периодом Tп=NТ, где Т- длительность одного импульса, то автокорреляционная функция периодической М – последовательности (ПАКФ) равна:

На рис.3.5 показана стандартная ПАКФ М – последовательности. Нормированная ПАКФ:

-имеет максимум, равный 1;

-является периодической с периодом NT;

-длительность (ширина) пика ПАКФ равна Т;

-боковые лепестки постоянны и равны -1/N.

Взаимная ПКФ зависит от выбора М-последовательностей. Проблема состоит в том, чтобы подобрать достаточное количество М- последовательностей , для которых взаимная ПКФ не превышает заданной

105

величины. Для хороших М-последовательностей уровень боковых лепестков имеет величину N-0.5.

R(τ)

1

τ

NТ

Рис.3.5.

М-последовательности формируются регистром сдвига, который представляет собой генератор двоичных последовательностей. Он содержит триггерные ячейки (элементы памяти) и сумматоры по модулю 2,

охваченные обратными связями.

Регистр сдвига является цифровым автоматом, работа которого описывается характеристическим полиномом f(x) степени k. Этот

полином, как указано выше, является:

-неприводимым ;

-примитивным (первообразным), т.е. на него делится без остатка полином

степени (1+хN) при N=(2k –1) и на него не делится без остатка полином

(1+хL) при L<N.

Количество ячеек регистра равно степени характеристического полинома k. Если коэффициент аi =1, то выход i-ой ячейки подключен к сумматору по модулю 2, если коэффициент аi =0, то выход i-ой ячейки не подключен к сумматору по модулю 2. На рис.3.6 приведена схема регистра сдвига, описываемого характеристическим полиномом f(x)= 1 Å х2 Å х3. Для него k=3 (3 ячейки) и выходы 2-ой и 3-ей ячеек подключены к сумматору по модулю 2.

Рис.3.6.

Пусть регистр находится в состоянии 100, т.е. в 1-ой ячейке записана ‘1’,

106

ой ячейки записывается в 3-ю, ‘0’ из 3-ей ячейки идет на выход и т.д. В результате на выходе получаем М-последовательность: 0010111001011100101110010111…..

У неё период N=23-1=7 импульсов, в периоде 22-1=3 нуля и 22=4 единицы. Проблема состоит в том, чтобы получить достаточно большое количество М-последовательностей с достаточно малыми взаимно-корреляционными функциями. Количество М-последовательностей равно Q = ϕ(N)/k ,

где ϕ(N) – функция Эйлера, т.е. количество чисел в ряду от 1 до (N-1) взаимно простых с N . Если N – простое число, то ϕ(N)= N-1.

Для k=3, N=7, ϕ(7)=6, Q=2. Для k=19, Q=27594.

Одним из типов ПСП являются коды Баркера. Это сравнительно короткие ПСП длиной 3, 5, 7, 11, 13 импульсов. На рис. 3.7 показана временная диаграмма кода Баркера с N=11: +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1. На рис.3.8

показана его автокорреляционная функция.

Рис. 3.7.

Рис.3.8.

Сильной стороной этих кодов является то, что боковые лепестки автокорреляционных функций имеют уровень 1/N.

3.3.Фильтры, согласованные с шумоподобными сигналами.

107

Согласованные фильтры обычно используются для оптимального приема шумоподобных сигналов (ШПС). Аналоговый фильтр, согласованный с ШПС содержит:

1.Линию задержки с отводами; количество отводов равно количеству импульсов, время движения импульса от одного до другого отвода равно длительности импульса;

2.Фазовращатели (+,-); фазовращатель со знаком "+" не меняет, а со знаком "-" меняет знак входного импульса на противоположный; чередование знаков фазовращателей совпадает с зеркальным отображением чередования знаков в сигнале.

3.Сумматор; 4.Фильтр согласованный с одиночным прямоугольным импульсом (ФСОИ).

На рис.3.9 нарисована структурная схема фильтра, согласованного с кодом Баркера из 11-ти импульсов:+1+1+1-1-1-1+1-1-1+1-1. Этот СФ имеет линию задержки с 11-ю отводами, фазовращатели, сумматор и ФСОИ.

Чередование знаков фазовращателей в СФ: "- + - - + - - - + + +" , совпадает с зеркальным отображением чередования знаков в сигнале.

Рис.3.9.

На рис.3.10 изображена временная диаграмма напряжения u1(t) на выходе сумматора фильтра, согласованного с 11-значным кодом Баркера, при подаче на его вход согласованного с ним сигнала (толстая линия).

108