Мы видим, что в начале интервала наблюдения z(t) имеет вид информационного импульса. Однако, мы не можем точно сказать, что передавалось. Может быть передавали "1" и помеха оказалась равной "0", но возможно, что был передан "0" и помеха оказалась равной "1". Можно только указать вероятность, с которой процесс z(t) получился или из "1", или из "0".
Оптимальный приемник вычисляет W(ui/z) - условные (апостериорные) функции плотности вероятности (ФПВ) передачи ui(t) для всех i от 0 до М, если на входе приемника процесс z(t). Сравнивая вычисленные ФПВ, оптимальный приемник дает на выходе тот вариант сигнала uj(t), который соответствует максимальному значению ФПВ, т.е. решение оптимального приемника R соответствует аргументу, максимизирующему апостериорную ФПВ:
R= arg[max W(u |
/z)]; |
(2.3) |
|
i |
i |
|
|
Если передаваемый сигнал двоичный, то символы могут принимать только 2 значения: 1 и 0. Правило работы оптимального приемника двоичных символов принимает вид:
если W(1 / z) > W (0 / z)– то ОП дает на выходе решение R=1,
если W (1 / z) < W (0 / z)– то ОП дает на выходе R=0.
Если единственная помеха в канале связи - белый нормальный шум, т.е. гауссов шум с постоянной спектральной плотностью энергии, то оптимальный
приемник должен давать на выходе тот символ ui(t), |
который соответствует |
||
минимуму интеграла: |
|
|
|
Т |
[z(t) - u |
(t)]2dt; |
(2.4) |
arg min ∫ |
|||
повсемui 0 |
i |
|
|
|
|
|
|
Для двоичной системы связи передаче 0 соответствует передача в линию связи символа u0(t), а передаче 1 соответствует передача в линию связи символа u1(t). Правило работы оптимального приемника двоичных сигналов, если в канале связи действует белый нормальный шум , имеет вид:
|
Т |
[z(t) - u |
Т |
|
|
|
(t)]2dt, торешениеОП: R = 1; |
|
если |
∫ |
(t)]2dt < ∫ [z(t) - u |
0 |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
|
(2.5) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
Т |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
[z(t) - u |
|
|
(t)]2dt, торешениеОП: R = 0. |
|||
если |
∫ [z(t) - u (t)]2dt > ∫ |
0 |
||||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
На рис.2.2 показана структурная схема оптимального приемника Котельникова, реализующую алгоритм (2.5). Схема имеет 2 одинаковых канала, отличающихся только генераторами опорных напряжений ГОН, генерирующих образцы ui(t):
ГОН 1 – генерирует u1 (t); ГОН 0 – генерирует u0 (t); ВУ – вычитающее устройство; КВ – квадратор; ИНТ – интегратор;
РУ – решающее устройство.
89
Решающее устройство дает на выходе символ 1 или 0, соответствующий каналу, дающему минимальное напряжение на входе РУ.
Рис.2.2.
Можно несколько изменить алгоритм (2.5). Из выражения (2.5) следует, что можно сократить z2(t), входящее в обе части неравенств.
Получим выражение:
arg max |
Т |
|
(t) - u |
(t)2 |
|
(2.6) |
ехр ∫ [2z(t)u |
|
] dt ; |
||||
повсемui |
|
i |
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что это выражение максимально, если максимален показатель. Если энергия посылок сигнала одинакова, то алгоритм работы оптимального приемника двоичных сигналов принимает вид:
ТТ
если ∫ |
z(t)u |
(t)dt < ∫ z(t)u |
0 |
(t)dt, торешениеОП: R = 0; |
0 |
1 |
0 |
(2.7) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
ТТ
если ∫ |
z(t)u (t)dt > ∫ |
z(t)u |
0 |
(t)dt, торешениеОП: R = 1. |
|
||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оптимальный |
приемник, |
реализующий |
алгоритм (2.7), |
называется |
|||
корреляционным. Структурная схема оптимального корреляционного приемника показана на рис. 2.3. Блоки ПРМ – это перемножители, остальные блоки совпадают с блоками схемы рис.2.2.
90
Рис.2.3.
2.2. Потенциальная помехоустойчивость приема двоичных сигналов для канала с постоянными параметрами.
В двоичной системе связи стандартные виды модуляции - это двоичная амплитудная модуляция (ДАМ), двоичная частотная модуляция (ДЧМ) и двоичная фазовая модуляция (ДФМ). Передаваемые сигналы в зависимости от вида модуляции имеют вид:
u |
|
|
(t) = U |
m |
соs ω |
|
|
t |
|
|
|||
Д А М : |
1 |
|
(t) = 0 |
|
|
0 |
|
; |
|
||||
u |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
(t) = U |
m |
соs ω |
|
t |
; |
(2.8) |
||||
Д Ч М : |
1 |
|
(t) = U |
соs ω |
1 |
|
t |
||||||
u |
|
0 |
|
m |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
(t) = U |
m |
соs ω |
|
|
t |
|
; |
|||
Д Ф М : |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
t |
|||||
u |
0 |
(t) = -U |
m |
соs ω |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Временные диаграммы этих сигналов приведены в конспекте Теория цифровой связи (часть1).
Пусть канал связи является каналом с постоянными параметрами. Принимаемый сигнал искажается только за счет того, что на него накладывается АБГШ. Рассчитаем вероятность ошибки для оптимального приемника двоичных
сигналов. Средняя вероятность ошибки равна: |
|
р=р(1)р(0/1) + р(0)р(1/0); |
(2.9) |
где: р(1), р(0) – априорные вероятности передачи 1 и 0; |
|
р(0/1), р(1/0) – условная вероятность приема 0 при передаче 1; р(1/0) – условная вероятность приема 1 при передаче 0.
91
Рассчитаем р(1/0). Так как мы передавали 0, то z(t)= u0(t) + x(t); но ОП принял решение, что передавалась 1. Следовательно, из-за действия помехи неравенство (2.5) имеет вид:
Т |
[z(t) - u |
Т |
|
(t)]2dt; (2.10) |
∫ |
(t)]2dt < ∫ [z(t) - u |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Следовательно р(1/0) равна вероятности выполнения неравенств:
|
|
Т |
|
|
|
|
|
Т |
[z(t) - u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p(1/0) = p ∫ [z(t) - u |
(t)]2dt < ∫ |
0 |
(t)]2dt = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т |
[x(t) + u |
|
|
(t) - u |
|
|
Т |
[x(t) + u |
|
|
|
(t) - u |
|
|
|
|
= |
|||||||
= p |
∫ |
0 |
(t)]2dt < ∫ |
0 |
0 |
(t)]2dt |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т |
[x(t) + u |
|
|
(t) - u |
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= p |
∫ |
0 |
(t)]2dt < ∫ [x(t)]2dt = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т |
{ |
|
0 |
1 |
(t)]+ [u |
0 |
|
|
1 |
(t)]2 |
} |
|
|
= |
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= p |
|
2x(t)[u |
|
|
(t) - u |
|
(t) - u |
|
|
|
|
dt < 0 |
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т |
2x(t)[u |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
(t) - u |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
= p |
∫ |
0 |
(t) - u (t)]dt < − ∫ [u |
0 |
|
|
(t)]2dt < 0 |
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= p(y < - 0.5Eр);
Через у мы обозначили интеграл от произведения x(t) на разность
Величина Ер - это энергия разности символов: |
|
Т |
|
Eр = ∫ [u0(t) - u1(t)]2dt; |
(2.12) |
0 |
|
Помеха x(t) представляет собой нормальный белый шум со плотностью энергии G0 . Интегрирование есть линейная операция, нормальная случайная величина. Её среднее значение равно 0, значение помехи равно 0. Дисперсия процесса y равна:
[u0(t) – u 1(t)].
спектральной т.е. y – тоже т.к. среднее
2 |
= Т |
{u1 |
(t) - u0 |
|
Т |
{u1 |
(t1) - u0 |
|
σy |
∫ |
(t)}х(t)dt |
∫ |
(t1)}х(t1)dt1 |
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Таккак усреднению по множеству подвергается только помеха, то врезультате усреднения произведения х(t) х(t1) получим функцию корреляции белого шума:G0δ(t-t1). Используя фильтрующее свойство дельта-функций, получим:
2 |
= |
|
Т |
2 |
|
|
G0 |
{u1 (t) - u0(t)} |
dt = G0Ер; |
||||
σy |
|
∫ |
||||
|
|
|
0 |
|
(2.13) |
92
Таким образом, ФПВ процесса y запишем в виде:
|
|
|
|
|
|
− |
y 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2σ 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
W ( y) = |
|
|
|
|
е |
y ; |
(2.14) |
||
|
|
|
|
|
|||||
σ |
y |
|
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность приема 1 при передаче 0 есть вероятность того, что нормальная величина у принимает значения меньше - 0.5 Ер.
-0.5Ер |
|
|
|
- |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2σy |
|
р |
|
|
|
||||
р(1/0) = ∫ |
|
|
|
|
е |
|
dy = 1- F |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ |
|
2π |
|
4G |
|
||||||||
-∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где функция F(x) – табулированная функция (интеграл Лапласа)[1]:
F(0)=0.5, F(∞)=1, F(- ∞)=0 .
Аналогично можно получить такое же выражение для р(0/1). Следовательно, выражение (2.15) есть средняя вероятность ошибки для оптимального приемника. Анализ (2.15) позволяет сделать следующие выводы:
1.Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника зависит только от отношения энергии разности посылок к спектральной плотности помехи.
2.Минимальная вероятность ошибки равна 0.
3.Максимальная вероятность ошибки для двоичной системы связи равна 0.5.
4.Чем больше энергия разности посылок, тем выше помехоустойчивость системы сигналов.
Вычислим Ер для |
ДАМ, ДЧМ, ДФМ : |
|
|
|
|||||||||||
|
Т |
|
|
|
|
|
|
t - 0)2dt = 0.5U2 |
|
|
|
||||
ДАМ: Е |
= ∫ |
(U |
m |
соsω |
Т; |
|
|
||||||||
р |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соsω t)2dt = U2 |
|
|
||
ДЧМ: Е |
= ∫ |
(U |
m |
соsω t - U |
m |
Т; |
|
||||||||
р |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
m |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соsω t)2dt = 2 U2 |
|
|||
ДФМ: Е |
= ∫ |
(U |
m |
соsω t + U |
m |
Т; |
|||||||||
р |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
m |
(2.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.о. при постоянной мощности сигнала и, следовательно, мощности передатчика ( Um2 = const ) наибольшую энергию разности посылок и наибольшую
93
помехоустойчивость имеет ДФМ. Двоичная фазовая модуляция выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДЧМ и 4 раза по сравнению с ДАМ. Соответственно, ДЧМ выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДАМ и проигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДФМ.
Формула средней вероятности ошибки для двоичной системы сигналов может быть записана в стандартном виде, если вместо Ер подставить полученные выражения и ввести параметр h02 :
ДАМ : р = 1- F |
h |
0 |
|
; ДЧМ: р = 1- F (h |
|
); ДФМ : р = 1- F (h |
|
|
|
|
); |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
N0 = 2G0 - односторонняя спектральнаяплотность энергии шума; |
||||||||||||||||||||||||
h2 |
|
U2 |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
m |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
2N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виде; |
|
|
|
|
|
|||
В |
результате |
получим |
общую формулу |
|
|
в |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для ДФМ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
р = 1- F (α h0 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для ДЧМ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
где |
α = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для ДАМ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметр h02 – есть отношение энергии бита к N0 .
На графике рис. 2.4 показана зависимость вероятности ошибки р от h0 . На этом графике параметр h0 отложен в линейном масштабе, а вероятность ошибки - в логарифмическом масштабе, т.е. мы пишем вдоль оси р -истинное значение вероятности ошибки , а откладываем логарифм lg р . Ось р направлена вниз.
94
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10-2 |
|
|
|
|
|
Д А М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Ч М |
|
|
10-4 |
|
|
|
|
Д ФМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 h0 |
|
|
|
|
|
Рис.2.4. |
|
|
|
Анализируя кривые потенциальной помехоустойчивости на рис.2.4 , приходим к |
||||||||
выводу, сформулированному выше: для получения заданной вероятности ошибки, |
||||||||
например 10-3, при ДФМ необходимо иметь h0 = 4 (h02 =16), при ДЧМ необходимо |
||||||||
иметь h0 =5,64 (h02=32), при ДАМ необходимо иметь h0 =8 (h02 =64). |
||||||||
2.3. Некогерентный прием в канале с неизвестной начальной фазой сигнала. |
||||||||
Оптимальный приемник дает максимальную помехоустойчивость, но его схема довольно сложна в реализации. В частности, необходимо знать образцы принимаемых сигналов с точностью до фазы. Если начальная фаза сигнала неизвестна, то используются неоптимальные, некогерентные способы приема.
Структурная схема некогерентного демодулятора сигнала ДАМ показана на рис.2.5. Обозначения на рис.2.5 следующие: ПФ-полосовой фильтр, АД – амплитудный, некогерентный детектор, РУ – решающее устройство.
Если на входе ПФ действует сигнал в сумме с нормальным шумом, то при передаче 0 напряжение на выходе АД распределено по закону Релея W(Um/0), а при передаче 1 - по закону Райса W(Um/1) (рис. 2.6).
95
Рис.2.5.
При оптимальном пороговом напряжении V площади под соответствующими ФПВ характеризуют вероятности ошибок р(1/0) и р(0/1). Вероятность ошибки для некогерентного приема сигнала ДАМ определяется по формуле:
|
р = 0.5 ехр (-h2/4 ) |
(2.18) |
|
где h2 - отношение с/ш на выходе ПФ. |
|
||
W(Um) |
W(Um/0) |
W(Um/1) |
|
|
з-н Релея |
|
|
|
|
з-н Райса |
Рис.2.6. |
0
Um p(0/1) V p(1/0)
Структурная схема некогерентного демодулятора сигнала ДЧМ показана на рис.2.7. Т.к. при передаче сигнала ДЧМ передаются две разные частоты, то на приеме необходимо иметь два ПФ и два АД. РУ принимает решение, соответствующее большему напряжению. ФПВ на выходе АД1 и АД2 аналогичны рассмотренным выше. Например, при передаче 1 на выходе АД1 имеем распределение Райса, а на выходе АД2 распределение Релея. Вероятность ошибки для некогерентного приема сигнала ДЧМ определяется по формуле:
р = 0.5 ехр (-h2/2 ) |
(2.19) |
Рис.2.7.
Если фаза передаточной функции канала связи медленно флуктуирует, оставаясь практически неизменной на интервале длительности, по крайней мере двух соседних символов, посылок, то оптимальным способом передачи является относительная фазовая модуляция (ОФМ). Этот способ модуляции был рассмотрен в 1-ой части курса [1]. При ОФМ фаза данного символа si отсчитывается от фазы предыдущего символа si-1. При передаче 0 - фаза
данного символа равна фазе предыдущего символа, при передаче 1 – фаза
96
данного символа изменяется на π по сравнению с фазой предыдущего символа. Определим потенциальную помехоустойчивость приема двоичной ОФМ (ДОФМ).
Прием «сравнением полярностей» Схема демодулятора по рис.2.8 содержит фильтр ПФ, синхронный детектор
СД, генератор опорного напряжения ГОН, перемножитель Прм, линию задержки ЛЗ на время Т, решающее устройство РУ.
В соответствии со схемой демодулятора рис.2.8, ошибка при приеме сигнала ДОФМ произойдет, если n-я и (n-1)-я посылки приняты верно, либо если n-я и (n-1)-я посылки приняты неверно. Вероятность первого события равна р1= (1- рДФМ)2, где рДФМ – вероятность ошибки при приеме сигнала ДФМ. Вероятность второго события равна: р2= рДФМ2. Полная вероятность правильного приема равна р3 = (1- рДФМ)2+ рДФМ2 . Вероятность ошибки равна:
р = 1- (1- рДФМ)2 - рДФМ2 = 2 рДФМ (1- рДФМ) = 2F (h0Ö 2 )[1-F (h0Ö 2 )]. (2.20)
Рис.2.8.
Прием «сравнением фаз» В соответствии со схемой демодулятора рис. 2.9 , знак напряжения на выходе
демодулятора определяется знаком интеграла от произведения двух соседних по времени отрезков процесса z (t) на входе демодулятора.
Вероятность ошибки для приема «сравнением фаз» определяется по формуле:
р = 0.5 ехр (-h2) |
(2.21) |
97
Рис.2.9.
Т.о. и для некогерентных способов приема ДОФМ является наиболее помехоустойчивым способом передачи информации и выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДЧМ, и 4 раза по сравнению с ДАМ.
98