Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантовая механика в задачах и вопросах. Шушлебин И.М., Янченко Л.И

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ˆ 2*	*	эрмитовость .
2M	1dv	эрмитовость .

Задача 4. Проверить правила коммутации в равенствах

ˆ	ˆ				ˆ	i y.
[x, MX ] 0; [y, MX ]			i z; [z, MX ]			i y.
Решение.
ˆ
1) [x, MX ]	i x z	y	y	z	i z	y	y	z	x 0.
		y		z		y		z

В данном выражении нет дифференциала по переменной х.

[y, MX ]

i yz

i z.

[z, MX ]

i z2

y yz

i y.

Задача 5. Доказать, что оператор кинетической энергии

ˆ	ˆ 2	.
T коммутирует с M

Решение.

			ˆ 2
ˆ	ˆ	ˆ	M	ˆ
Оператор T представим в виде T		Tr	2mr	. Tr	не зави-
			2mr

сит от

, следовательно, коммутирует с

M .

Оператор кинетической энергии трансверсального дви-

жения

отличается

от

ˆ 2

только на

независящий

от и

множитель

, а каждый оператор коммутирует сам с собой.

2mr

Отсюда следует

ˆ ˆ 2

ˆ 2

0 .

[T, M ] [Tr , M ]

[M , M ]

2mr

Задача 6. Проверить правило коммутации

[MX ,MY ]

i MZ .

Решение.

[MX ,MY ]

MXMY MYMX

(yPz

zPy )(zPx

x Pz )

2 ˆ ˆ

ˆ ˆ

(zPx

x Pz )(yPz

zPy )

yPz

zPx

z PyPx

yxPxPx

ˆ ˆ

zxPyPz

zyPxPz

yxPzPz

z PxPy

xPz

zPy

yPz

zPx

ˆ ˆ

xPz

zPy

zxPyPz

zyPxPz

[z,Pz ](xPy

yPx )

Практическое занятие № 4

Задача 1. Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы массы m, движущейся с импульсом р в положительном направлении х.

Решение.

Потенциальную энергию частицы можно считать равной нулю (U = 0) и уравнение Шредингера будет иметь вид

it 2m x2 .

Разделяем переменные: (x, t) (x) f (t).

Имеем i

( f )

2 (

f )

i E f;

2m E

c e i E t

c e i t ; c eikx

c e ikx

(k2 2m E;c		0 в положительном направлении х)
2	3
(x, t)	cei(kx	t) .

Полученное выражение соответствует плоской волне де Бройля.

* 2 c c* const.

Местонахождение такой частицы равновероятно во всех точках пространства.

Задача 2. В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом - функцией, где А и а – неизвестные постоянные. Найти средние значения 1) координаты х; 2) проекции импульса рх.

Решение.

1) x			x2		x2
1) x	x	*	dx A*A x e a2	e ikx e a2		eikxdx
	2x2
A*A	x e a2	dx	0.

Поскольку подынтегральная функция нечетная (из-за присутствия х). Аналогично и для плоской Волны де Бройля.

2) px	*pˆ x dx i	*		dx
			x

Воспользуемся заменой						ik	2x .
Воспользуемся заменой						ik	2x .
					x		a2
		x2		x2		2x
	i A*A e ikx a2		eikx
	i A*A e ikx a2		eikx	a2	ik		dx
						a2
	i A*A ik 2x		2x2				2x2
	i A*A ik 2x		e a2		dx kA*A e a2 dx
		a2
	2i A*A	2x2				2x2
	2i A*A	x e a2 dx kA*A e a2 dx
	a2	x e a2 dx kA*A e a2 dx
	a2

k * dx k 1 k	p	x	k.
		x

Задача 3. Частица находится в сферическом симметричном поле в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

	1		e r/a
			r ,

	2 a

где r – расстояние от центра поля, а – постоянная. Найти

<r>.

Решение.

В данном случае dq dV . В качестве dV выбираем бесконечно тонкий сферический слой с радиусами r и r+dr. Для него dV 4 r2dr . Отсюда следует

e 2r/a

2r/a

4 r

4 r dr

rdr

2 ar2

Введем переменную

a	e y ydy		a	ye y		e ydy
2	0		2		0	0
Используем тот факт, что						ye y	0 при у = 0 и у = ∞, в
итоге получаем
a			a	a			a .
a	e y		a	a		r	a .
2		0	2	2			2

Практическое занятие № 5

Задача 1. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной потенциальной яме с глубиной U = ∞ и шириной 0 ≤ x ≤ ℓ, если частица находится в состоянии

(x) A x ( x) .

Решение.

Проведем нормировку волновой функции.

* dx	A2 x2 (	x)2dx A2 (x2 2 2 x3 x4 )dx
0	0	0

2	2 x3	x5		x4		2	5	5		5
A			2		A				2
A	3	5	2	4	A		3	5	2	4
	3	5		4	0		3	5		4
A2	8 5	5	A2 16 15				5	A2 5	1
A2			A2 16 15						1
	15	2		30	30			30

A2 305 .

Средняя кинетическая энергия

	ˆ	2		d2
K	K dx				dx;
K	K dx	2m	0	dx2	dx;
	0		0

[

x( 1)]

(

2x)

A ( 2)

2A;

dx2

2A A

x)dx

A2 2

30 2

5 2

5m 6

m 2

Задача 2. Из уравнений

k2d

ik1d

A e

B e 2 ;

k2d

ik1d

k2A e

ik A

ik B e 2 ;

показать, что

eik1d

ik1

Решение.

ik1d

k2d

A e

B e 2

e 2

;

ik1

k2d

ik1d

e 2

A e

B e 2

ik1d

ik1

ik1d

A e 2 B e 2

B e 2

ik1

ik1d

ik1

A 1

e 2

ik d

ik1

e 2

eik1d k2 ik1 k2

1 k2

eik1d ik1 k2 . ik1 k2

Задача 3. Из системы уравнений

k2d

ik1d

B e

e 2

B e

2 ;

k2d

ik1d

B e 2

ik A

e 2

ik B e 2

;

получить, что

e ik1d

ik1

Решение.

ik1d

ik1

ik1d

A e 2

B e 2

B e

A e 2

A eik1d

ik1

ik1d

ik1

B e 2

A2 e ik1d ik1 / k2

ik1d

ik1

1 ik1 / k2

ik1

Задача 4. В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 ≤ x ≤ b) нахо-

дится частица в состоянии	(x) A sin2	x	. Определить

вероятность пребывания частицы в основном состоянии.

Решение.

Найдем нормировочный коэффициент А.

* dx	2dx A2 sin4	x	dx A2		sin4	x	d	x
* dx	2dx A2 sin4		dx A2		sin4		d
0	0			0

	A2	3	x		sin	x		sin 4	x	A2	3	1
						x			x



	8			4			32			0	8
A2	8

	3 .
	3 .

Собственная функция основного состояния (n = 1)


					2 sin			x		.
	1				2 sin					.
	1
	Вероятность пребывания частицы в состоянии с n = 1 бу-

дет		c2 , где c											dx				2 A sin3				x	dx
дет	1	c2 , где c											dx				2 A sin3					dx
	1	1				1						1
									0							0
																				cos3 ( x/ )
		2 8					sin3				x	d(			x)	4				cos3 ( x/ )			cos	x
				3																	3
																3									0
						0										3									0
						4				cos3				cos				1 cos3 0			cos 0
														cos				1 cos3 0			cos 0
						3			3							3
						4			1			1		1		1			16
									3			1		3		1
						3			3					3		3			3
						16			2			256
			c2			16						256				0,96 .
			c2													0,96 .
	1	1				3			3			27		2

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]