Вычислительные методы в инженерии. методические указания к выполнению контрольной работы для магистрантов направления 15.04.01 «Машиностроение». Бырдин А.П., Костина Т.И

Задача №4

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

11

12

Задача №6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ

Задание. Найти максимум целевой функции при заданных ограничениях.

13

14

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задача №1

Задание. Дана табл. 4 значений функции y = f (x). Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента x = 3,57.

получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же

практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию f (x), заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией ϕ(x) так, чтобы отклонение ϕ(x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция ϕ(x) при этом называется аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

При этом коэффициенты ai подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.

15

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции y = f (x) строим многочлен (1), принимающий в заданных точках xi те же значения yi , что и функция f (x), т.е.

интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

интервале аргумента x. Коэффициенты ai многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).

Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

∆y0 = y1 − y0 = f (x0 + h) − f (x0 ), ∆y1 = y2 − y1 = f (x0 + 2h) − f (x0 + h),

.............................................................

∆yn−1 = yn − yn−1 = f (x0 + nh) − f [x0 + (n −1)h].

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить n −1 конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

16

∆2 y0 = ∆y1 − ∆y0; ∆2 y1 = ∆y2 − ∆y1; ....; ∆2 yn−2 = ∆yn−1 − ∆yn−2.

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка k определяется формулой:

∆k yi−1 = ∆k−1yi − ∆k−1yi−1,

где k = 1,2,..., n и ∆0 yi = yi .

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

∆y0 = y1 − y0 ;

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле xi :

∆k yi = yk+i − kyk+i−1 + k(k −1) yk+i−2 + ...+ (−1)k yi .

2!

Для функции y = f (x), заданной таблицей своих значений y0, y1,..., yn в узлах x0 , x1,..., xn , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

где q = x − x0 . h

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, разности ∆k yi вычисляются через значения функции yi , yi+1, ..., yi+k , причем i + k ≤ n .

17

Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (табл. 6):

При составлении табл. 6 конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем n = 3. Приняв x0 = 3,50, y0 = 33,115, будем иметь:

0,05

x = 3,57. Получим q = 20(3,57 − 3,5) =1,4.

Тогда

P3(1,57) ≈ 33,115+1,698 1,4+ 0,0435 1,4 (1,4−1) + 0,00083 1,4 (1,4−1) (1,4− 2) = = 33,115+ 2,372+ 0,02436− 0,000278= 35,511.

наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y :

1)линейную функцию y = A0 + A1x;

2)квадратичную функцию y = A0 + A1x + A2x2. Построить графики этих функций.

Таблица 7

18

Решение. Пусть для неизвестной функции f (x) в точках x0 , x1, ..., xm экспериментальным путем получены значения y0 = f (x0), y1 = f (x1),

ym = f (xm ) . Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию f (x) с помощью более простой функции ϕ(x). При этом требуется выполнение в узлах интерполяции {xi} равенства f (xi ) = ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях

может оцениваться по-разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

f(xi ) −ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m).

Всвязи с этим возникает задача о приближении: таблично заданную функцию f (x) заменяют многочленом Pn (x) , который имеет не слишком

высокую степень n < m −1 и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена Pn (x) от функции f (x) принимается их среднее квадратичное отклонение

частные производные, получим систему уравнений:

19

После преобразования система принимает вид

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому она имеет единственное решение A0, A1,..., An .

1. Аппроксимируем таблично заданную функцию y = f (x) линейной

y = A0 + A1x.

Составим систему для определения A0, A1:

20