Интегрирование дифференциального уравнения движения

Дифференциальное уравнение (24) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в форме , где постоянная определяется из характеристического уравнения , которое получается после подстановки решения в дифференциальное уравнение.

Характеристическое уравнение имеет два корня:

. (25)

Могут представиться три случая: 1) - это случай малого сопротивления; 2) - это случай большого сопротивления; 3) - случай критического сопротивления. Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Затухающие колебания

Если , то величина под знаком квадратного корня в (25) отрицательна. Обозначим положительную величину . Тогда и из (25) получим следующие значения для корней характеристического уравнения:

.

Соответственно общее решение дифференциального уравнения

,

зависящее от двух произвольных постоянных, выразится в виде

, (26)

где , и , - произвольные постоянные.

Решение (26) можно также представить в другой, амплитудной форме:

, (27)

где и - тоже произвольные постоянные.

Раскрывая синус суммы, имеем

.

Сравнивая это уравнение с (26), получаем формулы связи постоянных:

;

или

; ;

; . (28)

Постоянные , и соответственно , определяются из начальных условий , , .

Дифференцируя (26) по времени, имеем

. (29)

Используя выражение (26) для , а (29) – для при , получаем уравнение для определения и :

,

Из них

, .

Соответственно постоянные и через начальные условия выразятся в следующей форме:

, ,

, . (30)

Величина положительна. Она не является амплитудой. Начальная фаза может иметь значения в пределах от 0 до 2 .

Для выяснения изменения функции построим ее график, используя уравнение (27). Вид графика функции (рис. 7) можно выяснить с помощью построения графиков вспомогательных функций (кривая 1) и (кривая 2). Кривые 1 и 2 являются ограничивающими для , который изменяется между 1 и -1.

Т

Рис. 7

аким образом, изобразив синусоиду между ограничивающими кривыми 1 и 2, можно составить представление о виде графика функции . На рис. 7 в действительности представлены графики отдельных функций , и .

Из графика функции следует, что величины последовательных наибольших отклонений от положения равновесия уменьшаются с увеличением времени, стремясь к нулю при неограниченном возрастании времени. В соответствии с этим движение, определяемое уравнением (27) или (26), называют затухающими колебаниями.

Условным периодом затухающих колебаний (или периодом) называют период . Он является периодом прохождения системы через положения равновесия, так как функции и равны нулю одновременно. Круговой частотой является величина . Следовательно, период затухающих колебаний

. (31)

Период затухающих колебаний – величина постоянная, не зависящая от начальных условий. Он больше периода собственных колебаний при отсутствии сопротивления .

Из (31), разлагая в ряд по степеням с использованием бинома Ньютона, имеем

. (31 )

Для очень малых по сравнению с единицей можно считать , т.е. малое сопротивление не изменяет периода собственных колебаний системы. В более общем случае можно использовать приближенную формулу

. (31 )

В действительности функция не является периодической, так как не существует величины , удовлетворяющей условию периодичности для любого момента времени.

Определим моменты времени, в которые функция достигает максимальных значений. В эти моменты времени .

Дифференцируя выражение из (27) и приравнивая нулю производную, получим следующее выражение:

.

Так как равно нулю только при , то соответствующие моменты времени определяются из условия равенства нулю выражения в квадратных скобках:

или

.

Если - одно из искомых значений удовлетворяющих этому тригонометрическому уравнению, то, учитывая, что период тангенса равен , все остальные искомые значения времени будут удовлетворять соотношению

или

,

где - любое натуральное число.

Таким образом, моменты времени, в которые функция достигает максимумов и минимумов, образуют бесконечную последовательность значений

, , .

Из графика функции (см. рис. 7) следует, что между каждыми ее двумя максимумами расположен один минимум, и наоборот. Следовательно, два соседних максимальных значения функции наступают через промежуток времени, равный , который совпадает с периодом затухающих колебаний . Два последовательных минимума тоже разделяют промежуток времени, равный .

Переменную величину называют условной амплитудой затухающих колебаний. Она не является максимальным значением функции . Установим закон изменения условной амплитуды при изменении времени на период . Если в момент времени условная амплитуда , то через промежуток времени, равный периоду затухающих колебаний , в момент

.

Это справедливо для любых двух моментов времени, отличающихся на период . Действительно, если при

,

где - любое натуральное число, больше единицы, то при

.

Таким образом, последовательные значения условных амплитуд а моменты времени, отличающиеся на условный период, образуют убывающую геометрическую прогрессию , ; ; …; ; … со знаменателем .

Можно показать, что по такому же закону убывающей геометрической прогрессии изменяются любые последовательные значения функции

для моментов времени, отличающихся друг от друга на условный период. Так, если в момент времени

,

то для момента времени

,

так как , вследствие того что является периодом.

Аналогично, если для

,

то для

.

Поэтому последовательные значения образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .

Так как любые два значения функции , соответствующие моментам времени, отличающимся на период , связаны соотношением

,

то этому соотношению удовлетворяют и два последовательных значения максимума:

.

Величину отношения двух последовательных максимумов

называют декрементом колебания.

Натуральный логарифм декремента колебания называется логарифмическим декрементом колебания. Для логарифмического декремента колебания имеем

. (32)

Кроме декремента и логарифмического декремента колебания часто используется другая характеристика затухания – добротность системы , которая определяется приближенным соотношением

, (33)

где - частота собственных колебаний без учета сопротивления; - коэффициент затухания.

Логарифмический декремент колебания можно выразить через добротность. Действительно, из (32) и (33) с учетом (31)

. (34)

Таким образом, из проведенного исследования можно заключить, что малое линейное сопротивление незначительно увеличивает период колебаний по сравнению со случаем отсутствия сопротивления, но сильно уменьшает последовательные значения условных амплитуд, которые уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону.