1.1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле

Малые колебания системы могут длительно совершаться только в окрестности устойчивого положения равновесия системы. Поэтому, важное значение имеет теорема Лагранжа–Дирихле, устанавливающая достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Теорема утверждает: для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, что бы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум.

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового поля зависит только от одной обобщенной координаты , равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т.е. . По условию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, т.е. и функция в малой окрестности , принимая только положительный значения, является возрастающей функцией , т.е. имеет вид, представленный на рис. 2.

Доказательство теоремы состоит из двух частей. Первая часть доказательства содержит выбор значения потенциальной энергии . Во второй части доказывается существование положительных чисел и , отличных от нуля, обеспечивающих выполнение условий устойчивости.

Д

Рис. 2

ля определения значений зададим положительное число настолько малым, чтобы окрестность его не содержала соседних экстремумов функции . Рассмотрим значения функции при и , т.е. и . Их двух положительных величин выберем наименьшую, например , и примем её за . Если при движении системы оказалось, что потенциальная энергия , то из выбора значений следует, что , т.е. обязательно должно удовлетворять условию .

Для доказательства второй части теоремы учтем, что при движении консервативной системы и выполнении других условий теоремы и о связях справедлив закон сохранения полной механической энергии

,

где и – значения кинетической и потенциальной энергии в начальный момент. Они зависят от начальных значений и , т.е. , .

Кинетическая энергия системы может быть только положительной. Поэтому из закона сохранения механической энергии получаем следующее неравенство для потенциальной энергии:

.

Это неравенство позволяет установить соответствующие положительные числа и . Неравенство допускает бесчисленное количество значений для и , удовлетворяющих ему. Действительно, неравенства и обеспечивают выполнение рассматриваемого неравенства для потенциальной энергии. Из неравенства получаем , а из двух неравенств , , следует . Подставляя значения и в основное неравенство, получим следующее условие для потенциальной энергии:

.

Что в соответствии с выбором числовой величины обеспечивает для обобщенной координаты выполнение условия .

Доказано, что для любого достаточно малого числа существует положительные числа и , и если и , то , т.е. положение равновесия устойчиво.

Для системы с двумя степенями свободы доказательство второй части теоремы почти не изменяется, за исключением того что и , но это не вносит существенных изменений в последующие рассуждения. Некоторые особенности возникают при выборе величины .

Для системы с двумя степенями свободы . В положении равновесия системы принимаем . Следовательно, .

Потенциальная энергия в малой окрестности изолированного минимума положительная, и ей зависимость от обобщенных координат имеет форму поверхности, изображенной на рис. 3,а.

Выберем и рассмотрим значение значения потенциальной энергии , и , где – любое, удовлетворяющее условию . Зависимость , является уравнением линии пересечения плоскостей (плоскость 1) с поверхностью . Аналогично есть линия пересечения плоскости с той же поверхностью. Из множества значений и (рис. 3,б) при изменении в интервале выбираем наименьшее . Затем рассматриваем и . Опять получим в плоскостях и по кривой, аналогичной изображенной на рис. 3,б. Из множества этих значений потенциальной энергии выбираем наименьшее . Из двух положительных величин и наименьшее принимаем за .

а) б)

Рис. 3

Из способа выбора значения следует, что если в какой-то момент движения системы , то обобщенные координаты удовлетворяют условиям и .

Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа–Дирихле для системы с степенями свободы и, следовательно, с обобщенными координатами.

Примем в положении равновесия все и . Тогда . Выберем достаточно малое положительное число , такое, чтобы в -окрестности не содержалось других экстремумов функции . Дадим обобщенной координате значения и , т.е. , а другие обобщенные координаты при этом удовлетворяют условию . Из всех значений потенциальной энергии в этом случае выбираем наименьшее . Затем даем значение , а другие при изменении удовлетворяют условию . Наименьшее значение потенциальной энергии при этих условиях обозначим . Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, получим последовательность положительных чисел , наименьшее из которых принимаем за .

Пока при движении системы , выполняется условие для всех обобщенных координат.

Пусть системе сообщили соответствующие начальные обобщенные координаты и скорости и она движется. При движении консервативной системы, удовлетворяющей связям, указанным в условии теоремы, справедлив закон сохранения механической энергии

,

где , , т.е. те величины, зависящие от начальных значений обобщенных координат и скоростей. Так как при движении системы , то из закона сохранения энергии следует

.

Это неравенство выполняется, если справедливы, например, два неравенства: и . Из условий получим ряд значений , удовлетворяющих условию , а из условия и неравенства – ряд значений , удовлетворяющих условию . Для потенциальной энергии после этого имеем

.

Следовательно, в соответствии с выбором все обобщенные координаты удовлетворяют условию .

Итак, существуют такие положительные числа и , определяющие область начальных значений и , для , т.е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа–Дирихле полностью доказана.

В некоторых случаях установить неустойчивость равновесия можно на основании теорем Ляпунова.

Приводим эти теоремы без доказательства.

1. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат.

2. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат