1.4.2. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы зависит от обобщенных координат , , если силовое поле и связи стационарны. Разлагая потенциальную энергию в окрестности положения равновесия в ряд по степеням и , имеем

.

Потенциальную энергию в положении равновесия принимаем равной нулю; величины , как значения обобщенных сил в положении равновесия системы. Окончательно, удерживая члены второго порядка и пренебрегая слагаемыми третьего и более высокого порядков, потенциальную энергию выразим в форме

. (60)

Постоянные величины

, ,

называются коэффициентами жесткости.

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат и . В том случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т.е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения , , как вторые производные от по переменным и при минимуме должны удовлетворять условиям

; ; . (61)

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для . Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при , т.е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы.

Потенциальная энергия в случае степеней свободы выражается в форме

.

Условия определенной положительности сведутся к условиям для коэффициентов жесткости, полностью аналогичным условиям для коэффициентов инерции.

1.4.3. Диссипативная функция

Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления , пропорциональные скорости точек , т.е.

,

где – постоянные коэффициенты сопротивления.

Обобщенная сила от сил сопротивления, согласно определению обобщенной силы, если использовать тождество Лагранжа

,

может быть выражена в форме

.

Здесь – диссипативная функция. Аналогично, через диссипативную функцию выразится как

.

Так же как и в случае системы с одной степенью свободы, для системы с двумя и любым конечным числом степеней свободы можно получить энергетическое соотношение

,

где – полная механическая энергия системы.

Таким образом, диссипативная функция в общем случае характеризует скорость убывания полной механической энергии вследствие действия линейных сил сопротивления.

Диссипативная функция по своей структуре аналогична кинетической энергии, только в нее вместо масс входят коэффициенты сопротивления .

Выполнив для разложение окрестности положения равновесия и отбросив члены третьего и более высокого порядков, так же как и для кинетической энергии, получим

. (62)

Постоянные величины , , называются приведенными коэффициентами сопротивления.

Квадратичная форма для , так же как и для кинетической энергии, по своей физической сущности является определенно-положительной; следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют условиям

; ; .

Для системы с степенями свободы диссипативная функция выразится в форме

.

Приведенные коэффициенты сопротивления удовлетворяют условиям, которые полностью аналогичны условиям для коэффициентов инерции.