Заключение

В данном учебном пособии изложены основные понятия, которыми оперирует квантовая физика – волновая функция оператор и прочие. При этом совершенно не затрагиваются вопросы исторического развития квантовых представлений. Пособие может служить введением к изучению квантовой электродинамике, теории твердого тела. Перечень литературы в библиографическом списке приведен в основном с целью указания места, где читатель может найти более подробное изложение вопросов, затронутых в учебном пособии.

Задачи

1. Вычислить коммутатор операторов: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) , и) , к) , л) , м) , н) , о) , п) .

2. Рассмотреть оператор. Является ли он линейным? Найти вид операторов, которые по отношению к нему, эрмитовы, обратные. А) Оператор изменения масштаба : , . Б) Оператор отражения : , . В) Оператор сдвига : , . Г) Оператор комплексного сопряжения : , . Д) Оператор перестановки координат двух частиц : , .

3. Выразить коммутаторы и через , и .

4. Доказать, что если операторы и – эрмитовы, то эрмитовы и операторы: а) , б) .

5. Операторы и – эрмитовы, – произвольный оператор. Показать эрмитовость оператора: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) .

6. Найти собственные функции и собственные значения. А) Физической величины, являющейся линейной комбинацией одноименных компонент импульса и координаты частицы . Б) Оператора проекции момента количества движения на ось ( ). В) Оператора координаты . Г) Оператора проекции импульса . Д) Оператора . Е) Оператора . Ж) Оператора . З) Оператора . И) Оператора .

7. Доказать, что функция является собственной функцией оператора и найти соответствующее собственное значение.

8. Найти связь между средними значениями координаты и импульса частицы в двух состояниях, волновые функции и которых связаны соотношением: а) , б) .

9. Доказать, что справедливо соотношение неопределенности:

.

10. Доказать, что справедливо соотношение неопределенности:

.

11. Для частицы, состояние которой задано функцией , проверить соотношение неопределенности для координаты и импульса.

12. Коммутатор операторов и имеет вид , где – эрмитов оператор. Доказать, что справедливо соотношение неопределенности:

.

13. Вычислив среднее значение энергии в состоянии с волновой функцией , , показать, что в любом одномерном потенциале , удовлетворяющем условиям при и , всегда есть хотя бы одно состояние дискретного спектра с энергией .

14. Решить стационарное уравнение Шредингера для частицы массы , движущейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (рис. 2).

Рис. 2.

15. Ч

    Рис. 3.

    астица массы находится в однородном потенциальном поле , где (рис. 3). Найти возможные уровни энергии частицы в области .

16. Ч

    Рис. 4.

    астица, двигаясь в положительном направлении оси , падает на потенциальный порог (рис. 4). Рассмотрев случай и , найти коэффициенты прохождения и отражения частиц.

17. Потенциал имеет вид , где – ограниченная функция. Как ведут себя решение уравнения Шредингера и его производная в точке ?

18. Для частицы найти число связанных состояний в зависимости от значений параметров потенциала : (рис.5).

Рис. 5.

19. Ч астица массы находится в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины (рис. 6). Найти энергии стационарных состояний частицы и соответствующие им волновые функции.

Рис. 6.

20. Д

    Рис. 7.

    ля частицы найти число связанных состояний в зависимости от значений параметров потенциала : (рис. 7).

21. Н айти энергетические уровни и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в -потенциале (рис. 8).

22. Н

    Рис. 8.

    айти энергетические уровни и волновые функции состояний дискретного спектра частицы в потенциале , , , .

23. Н айти энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний частицы в потенциале, изображенном на рис. 9.

Рис. 9.

24. Найти энергетические уровни и волновые функции состояний дискретного спектра частицы в потенциале , , , .

25. Н

    Рис. 10.

    айти энергетический спектр и волновые функции частицы в потенциале , .