10. Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

, (40)

где – оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы:

. (41)

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (40) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (40) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (40) при известном виде оператора позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

H , (42)

то переход к классическому уравнению Гамильтона-Якоби для функций действия

H

можно получить из (42) формальным преобразованием

, .

Уравнение (40) получается из (42) при переходе от (42) к операторному уравнению путем формального преобразования

, , (43)

если (42) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (43) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (40). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, также как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (40) удовлетворяется при волновой функцией , описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (40) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

11. Стационарные состояния

Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени, т. е.

. (44)

В этом случае волновое уравнение Шредингера (40) допускает решение с разделенными переменными

. (45)

Подставляя (45) в (40), находим

, (46)

где – постоянная величина. Из (46) следуют два уравнения:

, (47)

. (48)

Уравнение (47) является уравнением, определяющим собственные значения оператора Гамильтона, который при условии (44) является оператором энергии. Волновые функции соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенное значение. Решение уравнения (48) может быть записано в явном виде:

. (49)

В квантовой механике состояния, имеющие определенную энергию, называются стационарными состояниями. Согласно (45), (47) и (49), волновая функция стационарных состояний имеет вид

. (50)

Стационарные состояния в квантовой механике обладают рядом особенностей:

1. Зависимость волновых функций стационарных состояний системы от времени (50) однозначно определяется значением энергии в этом состоянии.

2. В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени.

3. В стационарных состояниях среднее значение любой физической величины, оператор которой явно не зависит от времени, является постоянным. Сами физические величины могут иметь определенное значение в стационарных состояниях в тех случаях, когда их операторы коммутируют с оператором Гамильтона.

4. Вероятность обнаружения определенного значения любой физической величины в стационарном состоянии не зависит от времени.