Учебники 6089
.docВ результате получаем
или
Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим cn (t):
где − постоянная, зависящая от начальных условий. Учитывая, что cn(0) =bn, получаем решение для cn(t) в форме
Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой
Пример.
Найти решение волнового уравнения для струны с закрепленными концами с граничными условиями u(0,t)=u(L,t)=0. Начальное смещение и скорость заданы в виде
где f(x) и g(x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения
Решение.
Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме Тогда
.
Подставляя это в волновое уравнение, получаем или .
В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части - только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно,
Если константа α положительная, то, полагая , получим уравнение с общим решением Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Решая первое уравнение, находим: где C1 и C2 − постоянные интегрирования. Учитывая граничные условия, получаем: Тогда
Полагая C2≠0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X≡0), находим, что (n − целое число). Следовательно, так называемые собственные значения равны Соответствующие им собственные функции записываются в виде:
При λ=λn второе уравнение имеет решение
Таким образом, можно записать, что
Здесь n − целое число, а An и Bn − постоянные, зависящие от начальных условий. Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений:
Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной:
Теперь из начальных условий определим постоянные An и Bn:
Видно, что функции f(x) и g(x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем:
Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид:
где коэффициенты An и Bn определяются приведенными выше формулами. Первый член ряда u1(x,t) называется основной частотой, остальные члены un(x,t) − обертонами или гармониками. Период и частота гармоники определяются формулами
Пример.
Найти решение уравнения Лапласа в круге c граничным условием
Решение.
Будем искать решение в полярных координатах (r, φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 3):
|
|
Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периоди–ческой функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от пере–менной φ. Уравнение Лапласа в полярных координатах запи–сывается в виде |
Рисунок 3. |
|
|
Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье
где коэффициенты Фурье an(r) и bn(r) зависят от радиуса r. Предполагая, что функция u(r, φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных:
Подставляя это в уравнение Лапласа, находим
Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо. Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида
Здесь постоянные an(r) и bn(r) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим
Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cosnφ и sinnφ, получаем соотношения
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение
Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде
где αn, βn − известные числа, зависящие от граничных условий. Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов αn, βn:
Заметим, что Поэтому
Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда решение будет определяться формулой
Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.
Библиографический список
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. Учебник для втузов. Т.1. - М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 214 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. Учебник для втузов. Т.2. - М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 253 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова: Учеб. пособие для студентов втузов. - М.: Высшая школа, 1986. Ч.2. – 136 с.
Содержание
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье…......................1
Ряд Фурье для четных и нечетных функций………………………..5
Разложение в ряд Фурье непериодических функций………………8
Ряды Фурье для функций любого периода ……………………........9
Ряд Фурье по ортогональной системе функций……………………10
Интеграл Фурье……………………………………………………….11
Преобразование Фурье……………………………………………….12
Примеры разложения функций в ряды Фурье…………………….......13
Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье…….15
Библиографический список…………………………………….........25