3.3. Визуальные методы минимизации логических функций

1. Метод импликантных матриц

Данные методы основаны на графическом представлении логических функций и способности человека быстро зрительно отыскивать некоторые геометрические фигуры. Одним из таких способов является метод импликантных матриц.

Импликантная матрица – это таблица, столбцы которой содержат элементарные конъюнкции (минтермы) СДНФ логической функции, а строки – найденные по методу Квайна импликанты.

Проиллюстрируем данный метод на примере рассматриваемой нами ранее логической функции , СДНФ которой определяется соотношением (3.1):

Составим для этой функции импликантную матрицу (табл.3.3), в которой - элементарные конъюнкции из (3.1), а - импликанты из выражения (3.3).

Таблица 3.3

В импликантной матрице ставим “ ” на пересечении тех строк и столбцов матрицы, в которых импликанта может поглотить конъюнкцию. Для получения тупиковой ДНФ необходимо выбрать минимальное число таких импликант , которые в совокупности поглотили бы все элементарные конъюнкции . В результате этих действий получим две тупиковые формы логической функции .

(3.6)

(3.7)

3.3.2. Метод минимизации полностью определенных логических функций с помощью карт Карно

Метод минимизации логических функций с помощью карт Карно заключается в следующем: на карту Карно наносятся единичные и нулевые значения логических функций. Для получения ДНФ логической функции рассматриваются единичные значения функции, а для получения КНФ – нулевые.

Пусть с помощью карты Карно задана логическая функция , необходимо найти ее тупиковую ДНФ. Тогда задача минимизации решается следующим образом: среди единичных значений логической функции , предварительно нанесенных на карту Карно, отыскиваются прямоугольники (квадраты) с числом клеток , где k=(n-1),…,0. Задача минимизации состоит в том, чтобы все единичные значения логической функции покрыть минимальным количеством прямоугольников максимальной площади, величина которых равна . Для формирования тупиковых ДНФ в каждом прямоугольнике находится соответствующая импликанта, которая является одинаковой для всех объединенных клеток карты Карно. Найденные из каждого прямоугольника импликанты соединяются знаком дизъюнкции.

Если необходимо найти тупиковую КНФ логической функции , то задача минимизации решается следующим образом: среди нулевых значений логической функции , предварительно нанесенных на карту Карно, отыскиваются прямоугольники (квадраты) с числом клеток , где k=(n-1),…,0. Задача минимизации состоит в том, чтобы все нулевые значения логической функции покрыть минимальным количеством прямоугольников максимальной площади, величина которых равна . Для формирования тупиковых КНФ в каждом прямоугольнике находят элементарные дизъюнкции логических переменных, которые являются общими для всех выделенных клеток карты Карно. Найденные из каждого прямоугольника дизъюнкции соединяются знаком конъюнкции.

При применении метода минимизации логических функций с помощью карт Карно необходимо помнить о том, что карты Карно обладают свойством цилиндричности, т.е. клетки, расположенные по краям карт Карно являются соседними в каждом столбце и каждой строке.

Минимизируем с помощью данного метода логическую функцию , СДНФ которой определяется соотношением (3.1):

Построим для функции карту Карно (рис.3.1).

ab c	00	01	11	10
0	1	1	1	0
1	1	0	1	1

Рис. 3.1. Карта Карно функции

Определим максимальный размер прямоугольника, которым можно покрыть клетки карты. Величина прямоугольников вычисляется как , где k=(n-1),(n-2),…,0, а n – число аргументов, от которых зависит логическая функция. В нашем случае n=3, следовательно максимальный размер прямоугольника равен = =4. В карте Карно нет прямоугольника, состоящего из четырех единиц, стоящих рядом, поэтому объединять клетки карты можно только по две, например так, как показано на рис. 3.2.

Минтермы функции образуют в карте три группы. Одна группа состоит из двух минтермов и . Общей импликантой у них является . В соответствии с теоремами алгебры логики имеем:

+ = = ,

то есть переменная из этой группы может быть исключена.

Вторая группа состоит из двух минтермов и , следовательно

, то есть переменная из этой группы может быть исключена.

Третья группа состоит из двух минтермов и , следовательно

, то есть переменная из этой группы может быть исключена.

ab c	00	01	11	10
0	1	1	1	0
1	1	0	1	1

Рис. 3.2. Карта Карно функции

Объединяя знаком дизъюнкции найденные из каждого прямоугольника импликанты, получаем тупиковую ДНФ функции :

(3.8)

Объединить клетки карты Карно можно и другим образом (рис.3.3),

ab c	00	01	11	10
0	1	1	1	0
1	1	0	1	1

Рис. 3.3. Карта Карно функции

тогда получим еще одну тупиковую ДНФ, реализующую функцию (3.9):

(3.9)