Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1272 вуза, 4681 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие 800669

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
25.44 Mб
Скачать
☆

и b принимают одно из своих предельных значений в зависимости от знаков величин Ψ и x1/x2.

Траектории минимального и максимального ζ образуют некоторый криволинейный сектор, обладающий тем свойством, что, как бы ни менялись в процессе движения коэффициенты системы (5.90), фазовая точка системы,

находящаяся в начальный момент времени в точке x10, x20, всегда находится внутри этого сектора. Действительно, векторы скорости любой точке, распо-

ложенной на границах криволинейного сектора, т. е. на траекториях мини-

мального и максимального ζ, либо касательны границе, либо направлены внутрь сектора. Это означает, что ни при каких значениях коэффициентов изображающая точка системы не может выйти за пределы сектора. Траекто-

рии, являющиеся границами сектора, по предположению, пересекают линию переключения, так как изображающая точка при любых постоянных значе-

ниях коэффициентов a1(t), a2(t), b(t) попадает на прямую S при любых на-

чальных условиях, а граничные траектории в каждом из квадрантов соответ-

ствуют движению системы с предельными значениями коэффициентов.

При произвольном изменении параметров фазовая точка из начального положения (x10, x20) будет двигаться по траектории, целиком лежащей в кри-

волинейном секторе. Для любойой точки этой траектории можно также по-

строить криволинейный сектор, соответствующий максимальному и мини-

мальному значениям ζ, причем каждый последующий сектор будет лежать внутри предыдущего (рис. 5.24). Площадь сектора, построенного в каждый момент времени и ограниченного траекториями ζmin, ζmax и прямой переклю-

чения S, можно рассматривать как монотонно убывающую функцию P(t).

Случай lim P(t) 0 не может иметь места, так как это означало бы существо-

t

вание дополнительной, кроме начала координат, точки равновесия. Следова-

тельно, либо в некоторый момент времени величина Р будет равна нулю, ли-

бо lim P(t) 0. Это означает, что фазовая точка всегда попадает на прямую пе-

t

501

реключения S. Таким образом, доказано, что достаточные условия попадания для систем с фиксированными значениями параметров являются одновре-

менно достаточными условиями попадания и для систем с меняющимися па-

раметрами.

Необходимость этих условий следует из того, что система с постоян-

ными параметрами является частным случаем системы с переменными пара-

метрами. При выполнении условия попадания, согласно которому корни ха-

рактеристического уравнения линейной структуры при Ψ=α не должны быть положительными действительными числами для любых фиксированных зна-

чений параметров объекта и условий (5.95) существования прямой скольже-

ния, в системе с переменной структурой всегда возникнет движение, не зави-

сящее от переменных параметров системы.

Пример 5.6. Пусть система автоматического управления описывается системой уравнений

dx

 

x2

,

 

1

 

 

dt

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

b(t)u,

 

dt

 

 

 

 

 

 

где коэффициент b(t) изменяется в диапазоне

0 bmin b(t) bmax.

Выберем управление и в виде

при x1z 0,

при x1z 0.

z cx1 x2;

c 0.

(5.96)

(5.97)

(5.98)

где α, с — постоянные положительные величины.

В рассматриваемом случае a1≡a2≡ 0 и, согласно (5.95), прямая S, заданная на плос-

кости (x1,x2) уравнением z=0, будет прямой скольжения, если

 

c2

(5.99)

.

bmin

Очевидно, что при Ψ= α и коэффициенте b(t) равном любому значению из заданно-

502

го диапазона (5.97), характеристическое уравннение системы (5.96) не имеет положитель-

ных корней и изображающая точка из любого начального положения всегда попадает на S.

На рис. 5.25 представлены фазовые траектории системы (5.96) – (5.98) при значе-

нии α, определяемом в соответствии с (5.99), для трех случаев: b(t)=bmin, b(t)=bmax и b(t)=b0 (bmin<b0<bmax). При фиксированных значениях коэффициента b фазовыми траекто-

риями для Ψ = α будет семейство эллипсов

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

1,

 

2

b A

2

 

 

A

 

 

 

 

а для Ψ = -α — семейство гипербол:

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

x2

 

 

1.

1

2

 

2

 

2

 

 

A

 

 

b A

 

Здесь А — произвольный параметр.

Асимптоты гипербол определяются уравнениями

x2 b x1 0.

Прямая переключения совпадает с асимптотой гипербол для b(t)=bmin, т.е.

c bmin .

(5.100)

(5.101)

(5.102)

(5.103)

Для иллюстрации независимости движения такой системы с переменной структу-

рой от переменного параметра b(t) определим, как зависит от этого параметра один из важнейших показателей качества переходного процесса — время регулирования. Будем рассматривать начальные условия вида x1(0) = x10, x2 (0) = 0, а за время регулирования примем такую вели-

чину tp, что

x(t)

0.05x10

при t tp.

(5.104)

Как видно из фазового порт-

рета (рис. 5.25), переходный про-

цесс складывается из двух этапов:

первый этап — движение по эллип-

тической траектории GB до прямой

Рис. 5.25. Фазовые траектории системы в

скользящем режиме переключения S, второй этап — движение по S в скользящем режиме до точки D, абсцисса которой равна 0,05x10 (или при

503

b = bmin - по вырожденной траектории кривых гиперболического вида, совпадающей с S).

Время переходного процесса находится как сумма времен двух этапов:

tp =tGB+tBD.

Если b= const, то величина tGB определяется из соотношения

x1B

1

 

 

tGB x

 

dx1,

(5.105)

x2

10

 

 

 

где x2 abx102 x12 .

Значение x1B находится из решения системы, составленной из уравнения эллипса,

проходящего через точку (x10, 0), и уравнения прямой переключения

1

 

 

 

 

x1B x10

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

2

 

1

 

min

 

 

b

 

 

 

 

Учитывая (5.105) и (5.106), вычисляем продолжительность первого этапа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

t

 

arcsin

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

GB

b

 

2

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Время второго этапа равно

 

 

1

0,05x10

dx

1

 

 

b

2

tBD

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ln0,05

1

min

.

 

 

 

 

 

 

b

b

b

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

min

x1B

1

 

 

min

 

 

 

 

 

Наконец, продолжительность переходного процесса равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

b

2

tp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln0,05 1

min

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

2

 

 

b

 

2

 

b

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальная продолжительность процесса имеет место при

(5.106)

(5.107)

(5.108)

lim t

 

 

 

1

ln0,05

 

3,01

.

(5.109)

pmin

 

 

 

 

b

 

bmin

 

bmin

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальная продолжительность процесса имеет место при b= bmax, причем

504

tpmax

 

1

 

 

 

 

 

 

3,44

 

 

 

 

ln0,05

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

bmin

bmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для обеспечения требуемой длительности переходного процесса необходимо вели-

чины α и с выбрать в соответствии с (5.109) и (5.103). Описанный пример иллюстрирует тот факт, что в СПС в основном скользящий режим, не зависящий от переменных пара-

метров объектов, определяет динамические свойства системы.

Продолжая рассмотрение характерных примеров систем второго по-

рядка, вернемся к таким системам, уравнения движения которых содержат производные от управляющих воздействий. В таких системах с переменными параметрами также появляются специфические особенности, которые необ-

ходимо учесть при синтезе законов управления. Какие это особенности и как именно они учитываются при построении систем с переменной структурой,

нагляднее всего можно показать на примере системы, уравнения движения которой имеют следующий вид:

dx1 x2, dt

dx2 a1(t)x1 a2 (t)x2 b1(t)u dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.110)

 

 

du

 

b

(t)

 

 

 

.

 

 

2

 

dt

 

 

 

 

 

Здесь a1(t), a2(t), b1(t), b2(t) будем считать ограниченными функциями,

изменяющимися в интервалах

a

a (t) a ,

b

b (t) b

,

(5.111)

1min

1

1max

1min

1

1max

 

a2min

a2 (t) a2max ,

0 b1min

b2 (t) b2min .

 

Если в такой системе используется кусочно-непрерывное управление,

то при выполнении ограничений

 

 

 

 

'

 

 

c'

 

 

'

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

c2a1

 

 

 

 

 

(c1 c2a2)

 

 

c'

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

c'

 

 

b

 

 

 

c'

 

b

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c'

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(5.112)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c' a

c1'

 

(c'

c'

a )

 

 

 

1

 

c2'

 

 

 

2 1

 

 

 

 

1

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

c'

 

 

 

 

 

 

 

c'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

505

ai (t),bi (t)

где c1' c1b1 c2a1b2, c2' c1b2 c2b1 на величины коммутируемых коэффициен-

тов прямая S является прямой скольжения. Движение системы в скользящем режиме описывается однородным дифференциальным уравнением, решение которого зависит от коэффициентов c1' , c2' , которые в свою очередь зависят от переменных во времени коэффициентов , так что характер работы системы в целом зависит от этих величин. Таким образом, в системе с произ-

водной от управления, кусочно-непрерывное управление не обеспечивает не-

зависимости движения от переменных параметров системы даже в скользя-

щем режиме.

Для обеспечения в скользящем режиме независимости движения сис-

темы от характеристик управляемого объекта и построения системы с же-

лаемым качеством процессов, определенным заранее заданным критерием:

быстродействием, минимумом перерегулирования, минимумом какого-либо интегрального критерия и т. п., сформируем управдение с помощью линей-

ного фильтра — апериодического звена /75/. Тогда вместо (5.110) можно за-

писать

dx1 x2, dt

dx2

a (t)x a (t)x

b (t)u

 

dt

1 1 2 2

 

1

 

 

 

du 1 (v u). dt T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (t)

b (t)

 

 

 

(5.113)

2

u

2

v,

T

T

 

 

 

где T – постоянная времени линейного фильта; u - выходная координата управляющего устройства УУ, v – выходная координата формирующего уст-

ройства ФУ (рис. 5.26).

Покажем, что поставлен-

ную задачу можно решить, если выходную координату форми-

Рис. 5.26. Структурная схема СПС рующего устройства v составить

с линейным фильтром

в виде линейной комбинации ве-

506

личин x1 и u со скачкообразно меняющимися коэффициентами

 

v x x

 

uu,

(5.114)

 

1

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

x

при zx

0,

 

 

 

(5.115)

x

 

 

1

0,

x

при zx

 

 

 

 

1

 

 

 

u

при zx

0,

 

 

 

(5.116)

u

 

 

1

0,

u

при zx

 

 

 

 

1

 

 

z cx1 x2;

 

(5.117)

αx, βx, αu, βu, c – постоянные величины.

Выберем коэффициенты αx, βx, αu, βu, определяющие четыре возможные линейные структуры такими, чтобы для рассматриваемого процесса регули-

рования обеспечивалось выполнение условий /75/

lim z 0,

lim z 0.

(5.118)

z 0

z 0

 

существования скользящего режима для любой точки прямой S (S - прямая,

заданная на плоскости (x1,x2) уравнением z= 0) и попадание изображающей точки на S.

Совершенно так же, как это уже неоднократно делалось в рассматри-

ваемых ранее случаях, из (5.113), (5.114) и (5.117) определим величину z на прямой S:

 

 

b1

x)x (

b2

 

b2

u )u.

(5.119)

z ( c2 ca

a

b

T

T

 

2

1

1

1

T

 

Потребуем, чтобы для слагаемых в (5.119) выполнялись соответственно неравенства

( c2 ca

 

 

a

b1

x )x z 0,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

(5.120)

 

b2

 

 

b2

 

 

 

 

 

(

b1

 

 

u

)uz 0.

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (5.120) с учетом (5.115), (5.116) получаем расчетные соотношения,

позволяющие выбрать параметры управляющего устройства αx, βx, αu, βu, c

507

так, чтобы прямая S была прямой скольжения:

x max

T

 

[ c2

ca

 

a ],

 

 

 

 

 

 

a1,a2,b2 b

 

 

 

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x min

[ c2

ca

a (t)],

 

 

 

a1,a2 ,b2

b2

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.121)

u max[1 T

b1

],

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

b1,b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

u min[1 T

 

 

 

 

 

1

],

 

 

 

 

 

 

 

 

b1,b2

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если каждое из двух возможных значений коэффици-

ентов Ψx и Ψu удовлетворяет (5.121), то после попадания фазовой точки на S

дальнейшее изменение координаты не будет зависеть от переменных коэф-

фициентов системы (5.113) и, как всегда, в скользящем режиме однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

cx1 x2 0

определяет закон изменения координат x1, x2, причем коэффициент с выбира-

ется в соответствии с каким-либо заданным критерием качества переходных процессов.

Как и для системы с постоянными параметрами, работоспособность системы с переменными параметрами определяется с учетом закона измене-

ния величины u при движении фазовой точки по прямой S. С этой целью из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.113) и (5.117) определим величину z:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (c a (t))x a (t)x b2 (t) b (t) u b2 (t)v.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку в скользящем режиме z

= 0, то

 

 

 

 

 

 

v

T

c a

2

(t) x

2

T

a1(t)

x

1 T

 

b1

(t)

u.

 

 

 

 

 

b2 (t)

 

 

 

b2

(t)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2 (t)

Подставляя найденное значение u в последнее уравнение системы

(5.113), получаем

508

du

 

b1 (t)

u

c a2 (t)

x

 

 

a1(t)

x .

dt

b2 (t)

 

 

 

 

 

b2 (t)

2

 

b2 (t) 1

Так как в скользящем режиме координаты x1 и x2 стремятся к нулю, то закон изменения выходной величины управляющего устройства u в конечном

итоге будет определяться уравнением

du b1 (t) u. dt b2 (t)

Очевидно, рассматриваемая система будет работоспособной, если ре-

шение этого уравнения устойчиво.

В заключение покажем, что условием попадания фазовой точки из лю-

бого начального-положения в плоскости (x1 x2) на прямую скольжения S яв-

ляется отсутствие положительных корней у характеристического уравнения

2 a

a

b2

x 0

 

2

1

T

для любых фиксированных значений a1, a2, b2 из диапазона (5.111) их изме-

нения

Для доказательства этого положения можно воспользоваться теми рас-

суждениями, которые были проведены выше для системы (5.90). Различие будет заключаться лишь в том, что траектории ζmin в первом квадранте и ζmax в

четвертом следует заменить вертикальными прямыми (рис. 5.27); такая заме-

на объясняется тем, что dx2 линейно зависит от величины u, которая, вообще

dt

Рис. 5.27. Траектории движения изображающей точки при отрицательных корнях характеристического уравнения

говоря, может принимать любое значение.

Стремление получить движение, не зависящее от переменных параметров, в

системе с производными от управления привело нас к необходимости введения в

управляющем устройстве (рис. 5.26) мест-

ной коммутируемой обратной связи по вы-

ходной координате u фильтра Ф, отсутст-

509

вующей в системе с постоянными параметрами.

При этом удалось не только построить систему, качественные показа-

тели процесса управления в которой с изменением ai(t), bi(t) в пределах

(5.111) меняются незначительно, но и избежать применения настройки пара-

метров управляющего устройства в зависимости от нестационарных характе-

ристик объекта. Увеличение объема информации о состоянии нестационар-

ной системы, используемой в процессе управления, объясняется тем, что введение в управляющее устройство фильтра приводит к повышению поряд-

ка системы. При этом поведение системы полностью определяется тремя ко-

ординатами x1, x2,u. Однако это не приводит к существенному техническому усложнению системы, так как координату u (по сути дела, выходную коор-

динату инерционного звена) всегда можно измерить тем или другим спосо-

бом.

5.3.3. Применение метода разделения движений

к синтезу систем автоматического управления.

Методы фазового пространства позволяют исследовать системы с ши-

роким классом нелинейностей, но ограничивают порядок уравнений до третьего /95/.

«Метод разделения движения» расширяет возможности применения методов фазового пространства и является одним из возможных способов использования метода фазовой плоскости для анализа автоматических сис-

тем высокого порядка /96/. Основа метода – разделение полного движения системы на быстрые и медленные составляющие. При этом быстрым движе-

ниям соответствует система уравнений меньшего порядка, чем исходная сис-

тема; медленным движениям – система уравнений также невысокого поряд-

ка.

Рассмотрим нелинейные автоматические системы, работающие по замкнутому циклу.

510

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности