Учебное пособие 800669

ных схемах звено коррекции может включаться последовательно с компенса-

тором Wky(s) (рис. 5.15, б), параллельно с ним (рис. 5.15,в) или в виде ОС

(рис. 5.15, г).

Эти три способа в информаци-

онном и дина-

мическом смыслах равно-

сильны и обу-

Рис. 5.15. Способы коррекции словливают только особен-

ности расчета передаточной функции Wk(s), а также схемной (аппаратной)

или программной реализации алгоритма коррекции и управляющего устрой-

ства в целом. Легко получить формулы взаимного пересчета передаточных функций для различных способов коррекции. Проще всего определяется пе-

редаточная функция последовательного корректирующего устройства.

В том случае, когда коррекция системы связана с установкой нового измерительного элемента, звено коррекции также образует контур местной ОС (рис. 5.16). Принципиальное отличие такой коррекции от случая, приве-

денного на рис. 5.15,

г, заключается в при-

влечении дополни-

тельной текущей ин-

формации о некото-

рой внутренней пере-

Рис. 5.16. Местная обратная связь

менной неизменяемой

части системы.

Корректирующее звено может охватывать усилитель, исполнительный механизм, часть объекта. На частотах, где усиление внутреннего конура ве-

471

лико, чувствительность передаточной функции основного контура к вариа-

циям оператора охваченной части уменьшается. Такой способ коррекции яв-

ляется наиболее часто рекомендуемым. Во многих электрических системах автоматического управления достаточно просто получить необходимую до-

полнительную текущую информацию.

Для оказания корректирующего воздействия на объект могут привле-

каться новые каналы воздействий (рис. 5.17).

Ввиду большей сложности изменения системы в энергетической (сило-

вой) части данная коррекция применяется значительно реже.

Последовательная коррекция /7/. Пусть передаточная функция ис-

ходного разомкнутого контура кор-

ректируемой системы представлена в виде Wи(s)=Wo(s)Wky(s).

Передаточная функция скоррек-

Если полиномы числителей и знаменателей передаточных функций

Wи(s) и Wж(s) имеют общие, т.е.

то после сокращения общих делителей порядок передаточной функции звена коррекции понижается:

472

Wk ( s ) Wk1 ( s ) Bk1 ( s ) Bж1( s )Au1( s ).

Ak1 ( s ) Аж1 ( s )Bu1( s )

При формировании желаемой передаточной функции Wж(s) следует стремиться к повторению максимального числа нулей и полюсов Wи(s) (ос-

тавлять на месте частоты сопряжения ЛАЧХ), что существенно упрощает коррекцию.

Пусть передаточная функция Wk1(s) реализована и введена в систему.

Передаточная функция скорректированного разомкнутого контура

Wc( s ) Bc( s ) Bè (s )Âæ 1( s )Àè1(s ).

Ac( s ) Àè (s )Àæ 1( s )Âè1(s )

Учитывая (5.38), можно записать

Wc ( s ) Wж ( s )Bи1 ( s )Аи1 ( s ).

Аи1 ( s )Ви1 ( s )

Передаточная функция скорректированной системы равна желаемой с точностью до диполей, равных несовпадающим нулям и полюсам передаточ-

ных функций Wи(s) и Wж(s). Передаточная функция звена коррекции имеет нули и полюсы, компенсирующие часть полюсов и нулей передаточной функции исходной системы. В результате передаточная функция скорректи-

рованного контура Wс(s) оказывается неполной. Характеристический поли-

ном скорректированной системы равен произведению желаемого характери-

стического полинома на компенсирующие друг друга полиномы:

Ас=АжАи1Ви1.

Таким образом, при последовательной коррекции часть динамики как бы выводится из контура, поскольку на комплексных частотах компенсируе-

мых полюсов усиление контура равняется нулю. Помимо этого в контур вво-

дится желаемая динамика – желаемое соотношение нулей и полюсов.

Безусловно, полиномы Аи1 , Ви1 должны иметь левые корни. Корни по-

линомов А(s) и В(s) могут быть любыми.

Порядок скорректированной системы nc=nж+nи1+mи1 выше порядка

473

имеет полюсы, равные корням полинома Аи1, но не имеет таких нулей. Пере-

ходные процессы системы при возмущениях будут определяться и корнями

Аи1, среди которых не должно быть сильно колебательных или недопустимо близких к мнимой оси.

Как следует из (5.37), ЛАЧХ звена последовательной коррекции равна разности желаемой и исходной ЛАЧХ: Lk( )=Lж( )-Lи( ). ЛАЧХ контура равна сумме ЛАЧХ исходного контура и звена коррекции:

Lс( )=Lк( )+Lи( ). Она в точности равна желаемой ЛАЧХ Lж( ), т.к. час-

тотные характеристики не отражают диполей. Поэтому в частотных методах,

использующих графические или численные процедуры определения характе-

ристик звеньев коррекции, следует обеспечить условия отсутствия плохих диполей передаточной функции Wс(s).

Пример 5.3. Пусть Wж(s)=Wk(s)kyWи(s), где ky – коэффициент усиления согласую-

щего усилителя.

Тогда

Из полученного выражения следует, что для получения ЛАЧХ корректирующего устройства необходимо из желаемой ЛАЧХ вычесть ЛАЧХ неизменяемой части. Наибо-

лее просто это сделать графически, поскольку в этом случае по точкам излома асимптоти-

ческой ЛАЧХ наиболее просто определить постоянные времени. Если добротность систе-

мы D превышает коэффициент усиления неизменяемой части kн, для определения кор-

ректирующего устройства необходимо поднять АЧХ неизменяемой части до уровня же-

лаемой характеристики, а затем графически найти 20lg Wk ( j ) . Коэффициент усиления

K

согласующего усилителя k . Пусть необходимо определить последовательное кор-

y kн

ректирующее устройство для следящей системы, передаточная функция которой имеет вид

475

125

Wи(s) s(0,2s 1)(0,082 s2 2 0,8 0,08s 1) .

ЛАЧХ системы (Lи) при kи=1 приведена на рис. 5.19. Следящая система должна об-

ладать следующими показателями качества и точности:

добротность по скорости D =125 1/с, добротность по ускорению D = 50 1/с; мак-

симум перерегулирования max=30%, время регулирования tp=0,6 c.

Желаемая характеристика (Lж), построенная в соответствии с изложенным в п. 5.2.4, приведена на рис. 5.19. Значения частот в характерных точках равны k =125 1/с;

l=7,1 1/с; с =3,8 /0,6=20 1/с.

В точке ЛАЧХ, соответствующей частоте 5 =1/Т5, принято, что L=-16 дБ/дек.

Высокочастотная часть построена следующим образом: наклон характеристики от точки 5 до точки 6 равен –40 дБ/дек. Точка с частотой 6 выбирается произвольно, но желательно, чтобы диапазон частот между точками 5, 6 был не меньше ¼ декады. Далее наклон характеристик установлен –60 дБ/дек. Окончание участка с этим наклоном также выбирается произвольно, но с условием, что его длина не менее ¼ декады. От точки 6 до

наклон характеристики равен наклону ЛАЧХ неизменяемой части системы, т.е. –80

дБ/дек. Через точку =1,0 1/с строим ЛАЧХ неизменяемой части при kи =1. Поднимаем эту характеристику до уровня Lж. Характеристику корректирующего контура найдем с помощью (5.39) (при kу=kн= 1).

Точки ее излома обозначим соответствующими постоянными времени, тогда полу-

чим

Wk (s)

(T2s 1)(T3s 1)(T4s 1)2

(T1s 1)(T5s 1)(T6s 1)(T7s 1)

В зависимости от элементной базы полученное выражение может быть реализовано

476

аппаратно (при этом передаточная функция представляется в виде последовательного со-

единения типовых звеньев /90/) или алгоритмически.

Местная обратная связь (рис. 5.16). Коррекция контура в виде мест-

ной ОС иллюстрируется также рис. 5.20, где выделены охваченная Wox(s) и

не охваченная Wно(s) обратной связью части исходного контура Wи(s)= Wно(s)Wox(s).

Передаточная функция скоррек-

Рис. 5.20. Местная обратная связь

тированного разомкнутого контура

где Wвк(s)=Wox(s)Wk(s) – передаточная функция внутреннего контура, долж-

на быть тождественной желаемой передаточной функции. Из тождества

(5.36) с учетом (5.39) получим выражение для передаточной функции внут-

реннего контура

Wвк ( s ) Wи ( s ) 1

Wж ( s )

и искомой передаточной функции корректирующей ОС:

Выражения для полиномов числителя и знаменателя передаточной функции внутреннего контура имеют вид

Ввк ( s ) Ви ( s )Аж ( s ) Аи ( s )Вж ( s ) .

Авк ( s ) Вж ( s )Аи( s )

Выражения для полиномов числителя и знаменателя Wk(s) зависят от свойств охваченной ОС части

Wk (s ) Вk ( s ) Ви ( s )Аж (s ) Аи(s )Вж ( s ).

Аk ( s ) Вж ( s )Ано (s )Вох ( s )

Если полиномы числителя и знаменателя Wk(s) имеют общие делители

477

(НОД) /7/: НОД(Вж, Ви) = В2; НОД(Аж, Ано) = А2,

Пусть передаточная функция звена коррекции реализована в соответст-

вии с выражением

и введена в систему. Знак * над обозначениями полиномов передаточных функций означает приближенность их моделирования и реализации операто-

ра звена коррекции. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функ-

ции скорректированного контура в соответствии с формулами (5.39) и (5.40)

равны:

Оказалось, что скорректированная передаточная функция имеет диполи

478

из числа нулей Wox(s) , нулей Wи(s), которые не совпадают с нулями Wж(s), и

полюсов передаточной функции Wно(s) неохваченной части из числа тех, ко-

торые не совпадают с полюсами Wж(s). Все они окажутся корнями характе-

ристического полинома скорректированной замкнутой системы

Ас=АжВи1Ано1Вох.

Как видно из (5.42), при получении полиномов передаточной функции скорректированной системы происходит компенсация слагаемых в знамена-

теле. Условием компенсации является совпадение модели охваченной части с оригиналом:

Вох* Вох .

Аох* Аох

Поскольку точное равенство реально не существует, то нет и полной компенсации слагаемых. Поэтому необходимо установить, к чему может привести неточная компенсация.

Компенсация слагаемых не должна приводить к понижению степени полинома знаменателя Wc(s), т.е. порядка скорректированной системы, т.к. в

противном случае она будет негрубой. Система будет грубой, если взаимное уничтожение слагаемых не приведет к понижению степени полинома. Это имеет место, если степень остающегося слагаемого не ниже степеней унич-

тожающихся:

deg(BoxBи*1 Аж1 ) deg( AoxBж1Ано* 1Вох* ),

т.е. mox+mи1+nж1 nox+nно1+mж1+mox .

Прибавим к обеим частям m2+n2, где m2=degB2; n2= degA2, получим

nж mu n m.

Таким образом, разность степеней полиномов знаменателя и числителя желаемой передаточной функции должна быть не ниже соответствующе раз-

ности для исходной передаточной функции.

Как следует из (5.40), для значений аргумента s, удовлетворяющих ус-

479