Учебное пособие 800669

Подставляя это значение 0 в (4.96), находим коэффициент k0 для не-

четной характеристики:

Подставляя выражение (4.98) дисперсии величины и во второе условие

(4.97), находим коэффициент k1:

входного сигналов нелинейного звена Y и X соответственно. Знак коэффици-

ента k1 определяется характером функции . Если функция (x) возрастает около точки x=mх, то следует взять k1 >0, а если функция (x) убывает, то следует взять k1 < 0.

Условия (4.97) обеспечивают точный учет изменения нелинейным зве-

ном полезного сигнала и уровня флуктуации. При этом, конечно, закон рас-

пределения выходного сигнала нелинейного звена при статистической ли-

неаризации искажается. В этом отношении метод статистической линеариза-

ции вполне равноценен методу гармонической линеаризации, который обес-

печивает правильный учет первой гармоники на выходе нелинейного звена,

но искажает характер колебаний выходного сигнала.

Учитывая, что нелинейные звенья в автоматических системах работают совместно с линейными, для которых законы преобразования случайных сигналов определяются не столько их дисперсиями, сколько корреляцион-

ными функциями, приходим к заключению, что можно допустить при стати-

стической линеаризации некоторую ошибку в дисперсии выходного сигнала с целью лучше приблизить его корреляционную функцию.

На основании изложенных соображений возникает идея положить в основу метода статистической линеаризации другой принцип, а именно

401

принцип минимума средней квадратической ошибки от замены исходной не-

линейной зависимости приближенной линейной зависимостью (4.95):

При известных my, М[Y2], Dx и М[YX0] величина η является функцией

параметров 0 и k1. Приравнивая нулю частные производные этой функции по 0 и k1, получим уравнения

Легко показать, что найденные выражения 0 и k1 действительно обес-

печивают минимум величины η. Для этого дадим величинам 0 и k1 в выра-

жении (4.102) приращения, равные соответственно u0 и u1. Тогда получим

M[ Y 0 u0 (k1 u1)X0 2]

(4.107)

M[ Y 0 k1X0 2] u02 u12Dx 2u0( 0 my) 2u1(k1Dx M[YX0 ]).

Если 0 и k1 определяются уравнениями (4.104) и (4.105), то формула

(4.107) принимает вид

M[ Y 0 k1X 0 2 ] u02 u12Dx. (4.108)

Отсюда видно, что η принимает минимальное значение только при u0 = u1=0, т. е. при 0 и k1, определяемых уравнениями (4.104) и (4.105).

402

Для вычисления величин k1, k0, и 0 по полученным формулам необхо-

димо знать одномерную плотность вероятности f1(x,t) входной случайной функции X(t) нелинейного звена, которую мы будем обозначать сокращенно f(x). Тогда формулы (4.99), (4.100), (4.101) и (4.106) примут вид

где индексы вверху у коэффициентов k1 указывают способ линеаризации.

Пользуясь формулами (4.109) - (4.112), можно определить функцию 0

и статистические коэффициенты усиления k1, k0 для типовых нелинейных звеньев при заданной одномерной плотности вероятности f(x) входной слу-

чайной функции. Однако при работе нелинейного звена в замкнутой системе плотность вероятности его входного сигнала заранее неизвестна. Даже и по-

сле проведенного исследования системы часто удается определить только некоторые числовые характеристики входных случайных сигналов нелиней-

ных звеньев. Выход из этого затруднения достаточно прост. Дело в том, что изменение формы закона распределения f(x) в широких пределах не оказыва-

ет существенного влияния на коэффициенты k0 и k1 и функцию 0. Кроме то-

го, нелинейные звенья, как правило, соединяются в системах с инерционны-

ми линейными звеньями, а закон распределения выходной переменной инер-

ционной линейной системы оказывается обычно близким к нормальному при любом законе распределения входной переменной. Закон распределения вы-

ходной переменной тем ближе к нормальному, чем инерционнее линейная система (т. е. чем больше ее постоянные времени). Учитывая эти соображе-

403

ния, можно принять в формулах (4.109) - (4.112) закон распределения вход-

ной переменной нелинейного звена нормальным:

При этом статистические коэффициенты усиления нелинейного звена k0 , k1(1) , k1(2) и его статистическая характеристика 0 будут функциями матема-

тического ожидания mx и среднего квадратического отклонения х входного сигнала.

При нормальном законе распределения входного сигнала функция 0

выражается формулой

Если продифференцировать это выражение по mx и сравнить результат с (4.112), то получим

Следовательно, при нормальном законе распределения входного сигна-

ла нелинейного звена коэффициент k1(2) можно вычислять по формуле (4.115).

Таким образом, в отличие от обычной линеаризации при помощи ряда Тейлора, статистическая линеаризация дает выходной полезный сигнал и ко-

эффициент передачи случайной составляющей как функции не только полез-

ного сигнала, но и уровня флуктуации входного сигнала. При этом, так же как и обычная линеаризация, статистическая линеаризация заменяет характе-

ристику нелинейного звена функцией, линейной только относительно цен-

трированной случайной составляющей входного сигнала, но нелинейной от-

носительно полезного сигнала. Вследствие этого принцип суперпозиции не выполняется для статистически линеаризованных звеньев, и таким образом их основные нелинейные свойства сохраняются.

404

В случае неоднозначных характеристик нелинейных звеньев функция

(x) в формулах (4.109) - (4.112) заменяется функцией (x,signx), одномерная плотность вероятности f(x) входной случайной функции X(t) заменяется со-

вместной плотностью вероятности f (x,x) значений случайной функции X(t) и

ее производной X'(t) при любом данном t, а интегралы заменяются двойными

интегралами по переменным x,x.

Как показывают расчеты, при выборе k1 по первому и второму спосо-

бам в корреляционной функции выходного сигнала получаются односторон-

ние ошибки разных знаков. Поэтому в качестве коэффициента k1 целесооб-

разно брать среднее арифметическое значений этого коэффициента, полу-

ченных по первому и второму способам:

4.6.Устойчивость нелинейных систем автоматического управления

4.6.1. Устойчивость «в малом», «в большом» и

«абсолютная устойчивость».

В предшествующих разделах понятие «устойчивость» неоднократно употреблялось при рассмотрении фазовых портретов линейных и нелиней-

ных систем и, следовательно, ему можно дать графическую интерпретацию.

Равновесие называется устойчивым «в малом», если этому равновесию соответствует в фазовом пространстве системы устойчивая особая точка, т.е.

если можно указать в фазовом пространстве такую область, что после любого начального отклонения, принадлежащего этой области, изображающая точка приближается к особой точке, соответствующей равновесию.

Таким образом, говоря, что управляемый режим устойчив «в малом»,

мы лишь констатируем факт наличия устойчивой особой точки, не определяя как либо границ ее притяжения /76/.

405

4.6.2. Элементы теории бифуркаций и критерий устойчивости

«в большом» автономных нелинейных систем

В общем случае математическая модель системы автоматического управления зависит от некоторого числа существенных параметров z1, z2,…,zm, которые остаются постоянными в процессе исследования движений конкретной детерминированной динамической системы /58/:

Пространство Z параметров z1, z2,…,zm, от которых зависят правые час-

ти дифференциальных уравнений (4.117), называют пространством парамет-

ров динамической системы. Следовательно уравнения (4.117) можно рас-

сматривать как одну (общую) динамическую систему, заданную в простран-

стве параметров Z, каждой точке которого соответствует некоторая конкрет-

ная динамическая система, имеющая определенную картину траекторий в фазовом пространстве.

С изменением параметров связаны изменения картины фазовых траек-

торий, которые могут иметь как количественный (например, амплитуда авто-

колебаний, размеры области сходящихся движений, положение равновесия и т.д.), так и качественный характер (изменения числа периодических движе-

ний, их устойчивости, числа и вида состояний равновесия и т. п.).

Любое качественное изменение структуры фазового пространства на-

зывается бифуркацией. Значение параметра z = z0 называют бифуркацион-

ным, если существуют сколь угодно близкие к z0 значения параметра z, для которых качественная структура фазового пространства отличается от струк-

туры при z = z0 /81/.

Множество значений параметров, соответствующих какой-либо би-

фуркации динамической системы, образует в пространстве параметров и не-

которую поверхность, называемую бифуркационной.

407

Такие поверхности определяются бифуркационными (критическими)

соотношениями параметров и служат границами, разбивающими пространст-

во параметров на области с различными качественными структурами движе-

ния динамической системы. Поэтому задача полного исследования динами-

ческой системы прежде всего состоит в выявлении всех возможных качест-

венных структур фазового пространства, присущих изучаемой динамической системе, и отыскании критических соотношений параметров, определяющих границы областей с различной качественной структурой. Решение этой зада-

чи осуществляется методами на основе теории бифуркаций.

Для автономных динамических систем второго порядка такая теория наиболее полно и глубоко изложена в работе /87/. Для динамических систем высокого порядка теория бифуркаций в настоящее время еще далека от за-

вершения. Существующая теория бифуркаций основывается на понятии

«грубости» динамической системы, введенным А. А. Андроновым и Л. С.

Понтрягиным. Динамическая система называется грубой в области G, если для любого ε> 0 можно указать такое δ > 0, что при произвольных аналитиче-

ских функциях qi(x1, x2, ...., xn) измененной системы

имно однозначное и взаимно непрерывное отображение области G в себя,

при котором каждая траектория исходной системы отображается в траекто-

рии системы (4.118) и обратно, и при этом соответствующие друг другу точ-

ки находятся на расстоянии, меньшем ε.

Иными словами, грубыми являются такие динамические системы, у ко-

торых качественная структура фазовых траекторий не меняется при произ-

вольном малом изменении правых частей дифференциальных уравнений.

Понятие «грубость» имеет важное практическое значение, так как при

408

построении математической модели реальной системы мы не можем распо-

лагать абсолютно точными значениями параметров, которые в общем случае всегда меняются с некоторой вероятностью в определенных пределах. Кроме того, сама математическая модель описывает реальную систему с некоторой степенью точности. Поэтому всегда необходимо предполагать возможность малых изменений дифференциальных уравнений, представляющих модель. В

связи с этим результаты исследований движений практически реальны лишь в тех случаях, когда последние являются устойчивыми по отношению к ма-

лым изменениям динамической модели (системы), т. е. она должна быть гру-

бой.

В пространстве параметров грубым системам отвечают области, в ко-

торых изменения фазового портрета носят только количественный характер.

Граничные же поверхности, разделяющие эти области и отвечающие бифур-

кационным параметрам, соответствуют негрубым системам, что следует из самого определения бифуркационного значения параметра. Таким образом,

на бифуркационных поверхностях происходит переход от одной грубой сис-

темы к другой через некоторую негрубую систему. Следует отметить, что эти рассуждения всегда справедливы, когда они относятся к автономным систе-

мам не выше второго порядка.

Для автономных систем второго порядка основные типы негрубых сис-

тем, через которые происходят бифуркации, следующие /78/: сложный фо-

кус; двукратное состояние равновесия типа седло - узел; двойной предельный цикл; сепаратриса, идущая из седла в другое седло или в него же.

Каждый из указанных типов негрубых систем может соответствовать бифуркациям различного вида. Например, если в грубой системе имеются состояния равновесия — устойчивый узел 02 и седло 01 (рис. 4.39, а), то при изменении параметров они могут слиться в одно состояние типа седло—узел

(рис. 4.39, б), соответствующее негрубой системе, через которую происходит бифуркация, после чего это состояние равновесия исчезает (рис. 4.39, в)

409

Если же в гру-

бой системе, имею-

щей состояние узел и седло, две сепаратри-

сы, выходящие из седла стремятся к уз-

лу (рис. 4.39, г), то с изменением парамет-

ров может произойти бифуркация, соответ-

Рис. 4.38. Виды бифуркаций при переходе через негрубую ствующая переходу

систему типа седло - узел

через седло - узел

(рис. 4.39, д), при которой непременно от петли сепаратрисы рождается пре-

дельный цикл (рис. 4.39, е).

Выявление всех возможных видов бифуркаций, присущих той или иной исследуемой нелинейной системе, вывод критических соотношений па-

раметров, определяющих границы областей с различной качественной струк-

турой фазового пространства, в общем случае представляют весьма сложную задачу. Как уже отмечалось ранее, для систем высокого порядка существую-

щая теория не гарантирует полного решения этой задачи. Для автономных же систем второго порядка такая задача принципиально может быть всегда ре-

шена. Чаще всего это связано со значительными трудностями, так как в каж-

дом конкретном классе систем приходится использовать специальные прие-

мы и способы исследования поведения фазовых траекторий, вывода и иссле-

дований функций точечных преобразований и т. д. Поэтому для проведения качественного исследования, связанного с определением бифуркационных соотношений параметров, целесообразно применять вычислительные методы с использованием ЭВМ, различные приближенные методы по аппроксима-

ции функций и т. д.

410