Учебное пособие 800647

Известно [14], что поляризация БФ по каким-либо переменным приводит к перестановке ее значений. Поляризуем функцию F(x, y, z) по переменной z (табл. 16).

полярности переменной z, как следствие изменения порядка следования входных наборов.

Алгоритм преобразования БФ на основе метода конечных разностей представлен на рис. 3. Исходными данными для алгоритма А5 являются: n – число аргументов БФ, вектор F размерности 2n, содержащий значения БФ на соответствующих наборах входных переменных [15].

39

ЗАДАНИЕ:

1.Доказать, что полученное выражение (48) верно.

2.Найти все остальные виды (51) – (56) полинома (48).

3.Изучить представленный в лабораторной работе алгоритм А5 и оценить возможность его распараллеливания, предложить вариант программно-аппаратных средств, необходимых для параллельной реализации алгоритма А5. Дать оценку параллельной и последовательной реализации алгоритма.

Лабораторная работа №5

АЛГОРИТМ ФРАКТАЛЬНОГО ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

ЦЕЛЬ: изучение метода, базирующегося на преобразовании вектора значений функции и алгоритма полиномиального преобразования n – аргументных БФ на его основе.

В [8], интересующий нас подход, называется «метод, базирующийся на преобразовании вектора значений функции». Однако такое название метода, по нашему мнению, не раскрывает его отличительной сути. По этой причине в дальнейшем будем называть этот метод «методом фрактальных преобразований». Предпосылки выбора такого названия поясним позже.

Алгоритм метода фрактальных преобразований, представленный в [8], описан следующим образом: «…для построения вектора ~p коэффициентов полинома P(~xn), реализующего функцию f (~xn), имеющую вектор значений ~f не-

обходимо следующее. Пусть

Разбиваем вектор ~2f n на двумерные наборы:

41

~0 ( 0, 1), ~1 ( 2, 3) , …,

~i ( 2i , 2i 1) , …, ~2n 1 1 ( 2n 2 , 2n 1)

К каждому из них применим операцию Т:

T(~0) ( 0, 0 1) , T(~1) ( 1, 1 2 ),

…T(~i) ( 2i, 2i 2i 1), … T(~2n 1 1) ( 2n 2, 2n 2 2n 1)

Используя построенные наборы, конструируем такие че-

тырехмерные наборы, которые получаются в результате при-

менения операции Т к наборам, выделяемым из вектора ~2f n :

T( 0, 1, 2, 3) T(~0,~1) (T(~0 ),T(~0) T(~1)),

.........

T( 4 j , 4 j 1, 4 j 2, 4 j 3) T(~2 j ,~2 j 1) (T(~2 j ),T(~2 j ) T(~2 j 1))

.........

T( 2n 4, 2n 3, 2n 2, 2n 1) T(~2n 1 2,~2n 1 1) (T(~2n 1 2,~2n 1 2 ~2n 1 1))

Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогичным образом) к восьмимерным и т.д., пока не построим 2n- мерный набор. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома P(~xn).

Замечание. 2n-мерный вектор изображается следующим способом: «расщепляем» его на «последовательные» двумерные, четырехмерные, восьмимерные и т.д. наборы. Например, для вектора ( 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6 , 7 ) применяются такие записи:(( 0, 1),( 2, 3),( 4, 5 ),( 6, 7 )), (( 0, 1, 2, 3),( 4, 5, 6 , 7 )). Сумма ~ ~ наборов (векто-

ров) одинаковой длины понимается нами обычным образом:

Рассмотрим данный метод на примере булевой функции F(a, b, c)=(10100110). Так как число переменных булевой функции n=3, то вектор значений функции равен:

42

~8f ( 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 ) =(10100110).

T(~0) ( 0, 0 1) (1,1 0) (1,1),

T(~1) ( 1, 1 2) (1,1 0) (1,1),

T(~2) ( 4, 4 5) (0,0 1) (0,1) ,

T(~3) ( 6, 6 7) (1,1 0) (1,1)

Используя построенные наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате применения

операции Т к наборам, выделяемым из вектора ~8f :

T( 0, 1, 2, 3) T(~0,~1) (T(~0),T(~0) T(~1))

((1,1),(0,0)) (1,1,0,0)

T( 4, 5, 6, 7) T(~2,~3) (T(~2),T(~2) T(~3))

((0,1),(1,0)) (0,1,1,0)

Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогичным образом) к восьмимерному набору. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома P(~x8).

T( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (T(~0,~1),T(~2,~3)) ((1,1,0,0),(1,0,1,0))

(1,1,0,0,1,0,1,0)

Формализованный алгоритм А6 полиномиального преобразования n-аргументных булевых функций на основе метода фрактальных преобразований представлен на рис. 4. В представленном алгоритме используются переменные i –индекс fi ; j – группы при k-разбиениях компонент вектора F; s – количество групп разбиений на каждом проходе алгоритма; p – ве-

43

личина группы при разбиении компонент; r – количество проходов алгоритма [16].

Рис. 4. Алгоритм А6 полиномиального разложения булевых функций на основе метода фрактальных преобразований

44

ЗАДАНИЕ: изучить представленный в лабораторной работе алгоритм А6 и оценить возможность его распараллеливания, предложить вариант программно-аппаратных средств, необходимых для параллельной реализации алгоритма А6. Дать оценку параллельной и последовательной реализации алгоритма.

Лабораторная работа №6

НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНОК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ АЛГОРИТМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К ПОЛИНОМУ ЖЕГАЛКИНА

ЦЕЛЬ: научиться оценивать вычислительную сложность алгоритмов на примере одной задачи

В табл. 17 – 22 представлены табличные интерпретации рассмотренных в ходе изучения дисциплины «Вычислительные системы» алгоритмов полиномиального преобразования булевых функций, позволяющие найти теоретические оценки их вычислительной сложности: табл. 17 – 19 позволяют получить оценку вычислительной сложности алгоритмов А1 – А3, разработанных на основе метода неопределенных коэффициентов; табл. 20 позволяет получить оценку вычислительной сложности алгоритма полиномиального преобразования булевых функций на основе метода частных полиномиальных нормальных форм; табл. 21 – на основе метода конечных разностей и табл. 22 – на основе метода фрактального преобразования БФ.

45

46

Например, вывод оценки вычислительной сложности для алгоритма А1 (табл. 17) базируется на следующих посылках: главная диагональ табл. 1 содержит 2n клеток. При этом, если исключить клетки главной диагонали, то вся таблица, состоящая из 22n клеток, разобьётся на два равных треугольника, каждый из которых будет содержать по (22n – 2n):2 клеток. Тогда верхний треугольник, содержащий значения булевой функции, будет состоять из клеток, общее число которых соответствует величине S(A1) (22n 2n ):2 22n 1 2n 1. Эта величина и есть оценка вычислительной сложности алгоритма А1.

ЗАДАНИЕ: воспользовавшись статьей [18] (доступен электронный вариант статьи), найти оценки вычислительной сложности (S(A2) – S(A6)) алгоритмов полиномиального преобразования булевых функций А2 – А6, воспользовавшись их табличными интерпретациями (табл. 18 – табл. 22).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

47

1.Пятибратов А.П. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации [Текст] / А.П. Пятибратов, Л.П. Гудыно, А.А. Кириченко. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 512 с.

2.Закревский А.Д. Полиномиальная реализация частичных булевых функций и систем [Текст] / А.Д. Закревский, Н.Р. Торопов. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 200 с.

3.Выхованец В.С. Полиномиальная факторизация спектральных базисов [Текст] / В.С. Выхованец //Автоматика

ителемеханика. – 2005. – №12. – С.5-18

4.Hirayama T. Double Fixed-Polarity Reed-Muller

Expressions: A New Class of AND-EXOR Expressions for Compact and Testable Realization / T. Hirayama, K. Nagasawa, Y. Nishitani, K. Shimizu // IPSJ Journal. – 2001. – Vol. 42. –№ 4. –

P.983-991.

5.Акинина Ю.С. Альтернативный подход к обеспечению диагностируемости двухуровневых программируемых пользователем логических матриц [Текст] / Ю.С. Акинина, С.В. Тюрин // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2003. – Вып. 8.3. – С. 31 – 34.

6.Тюрин С.В. Способ тестопригодного проектирования логических преобразователей [Текст] / С.В. Тюрин, С.Л. Подвальный, Ю.С. Акинина // IV Всероссийская Научнотехническая конференция «Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем 2010»: сб. науч. трудов под общ. ред. А.Л. Спемпковского. – М.: ИППМ РАН. – 2010.

– С. 36-41.

7.Алехина М.А. Об одном методе построения полинома Жегалкина [Текст] / М.А. Алехина, П.Г. Пичугина // Дискретная математика для инженера. – 2006. – № 2. – C. 4951.

8.Акинин А.А. Автоматизация полиномиального разложения булевых функций на основе метода неопределенных коэффициентов [Текст] / А.А. Акинин, Ю.С. Акинина, С.Л. Подвальный, С.В. Тюрин // Системы управления и информационные технологии. – 2011. – Т. 44. – №2. – С. 4-8.

48