Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 800476

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
3.23 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный технический университет»

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ, ЭКОЛОГИИ

И ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕЖЕНИЯ

Труды 21-й научно-технической конференции

(г. Воронеж, 13 мая 2019 г.)

Воронеж 2019

УДК 621.31.016:53:502(06) ББК 31.2:22.3:20.1я4

Ф 503

Физико-технические проблемы энергетики, экологии и энергоресурсосбережения: труды 21-й научно-технической конференции. [Электронный ресурс] – Электрон. текстовые и граф. данные (3,1 Мб). –

Ф503 Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-7731-0789-7

В сборнике представлены труды научно-технической конференции, посвящённые исследованиям гидродинамики и тепломассообмена в энергетических

итеплотехнических установках различного назначения. Тематика исследований направлена на улучшение технико-экономических показателей этих установок и уменьшение экологической нагрузки на окружающую среду.

Отдельные результаты имеют также практическую направленность, так как посвящены разработке и внедрению в производство технических, алгоритмических

ипрограммных компонентов.

Материалы сборника соответствуют научному направлению ВГТУ «Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии, комплексы и системы управления» и перечню критических технологий Российской Федерации, утвержденному Президентом Российской Федерации.

 

УДК 621.31.016:53:502(06)

 

ББК 31.2:22.3:20.1я4

 

Редакционная коллегия:

Стогней В. Г.

– Заслуженный работник Высшей школы, канд. техн. наук,

 

профессор – ответственный редактор,

 

Воронежский государственный технический университет;

Бараков А. В.

– д-р техн. наук, проф. – заместитель ответственного редактора,

 

Воронежский государственный технический университет;

Агапов Ю. Н.

– д-р техн. наук, проф.,

 

Воронежский государственный технический университет;

Дубанин В. Ю.

– канд. техн. наук, проф.,

 

Воронежский государственный технический университет;

Надеев А. А.

– канд. техн. наук – ответственный секретарь,

 

Воронежский государственный технический университет

Издается по решению научно-технического совета Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-7731-0789-7

ФГБОУ ВО «Воронежский

 

государственный технический

 

университет», 2019

 

2

УДК 51-74

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА

ВЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ

СПОЛУСФЕРИЧЕСКИМИ ДНИЩАМИ

Е.А. Кожухова1, А.Ю. Трошин2

1Аспирант гр. АТФ-3, ekozhukhova@cchgeu.ru

2Канд. техн. наук, доцент, atroshin@cchgeu.ru ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Аннотация: в работе построена математическая модель теплообмена слоёв жидкости в вертикальной замкнутой цилиндрической ёмкости с полусферическими днищами при различной высоте цилиндрической вставки под действием теплового потока, поступающего извне по нормали к поверхности сосуда

Ключевые слова: математическая модель, теплообмен, цилиндрическая ёмкость

1. Постановка задачи.

Рассмотрим процесс теплообмена при перемещении слоёв жидкости в вертикальной замкнутой ёмкости цилиндрической формы с полусферическими днищами под действием теплового потока, поступающего извне по нормали к поверхности сосуда.

В работе изучается состояние среды при различной высоте

цилиндрической части, включая случай

h 0 , когда ёмкость будет

представлять

собой

сферическую

область.

Выполнено

математическое

моделирование

тепловых

процессов

с

использованием системы Навье-Стокса. Построена разностная схема, аппроксимирующая систему Навье-Стокса и выполнен вычислительный эксперимент, результаты которого приведены в виде графиков.

2. Математическая модель.

Рассмотрим уравнения термогидродинамики в безразмерных

координатах θ, U , V , где θ – температура, U

и

V

– проекции

скорости движения жидкости на оси Or и Oz .

 

 

 

 

θ

U

θ

V

θ

 

1

1

 

θ

 

2θ

 

2θ

 

τ

r

z

 

 

 

r

r2

z2

,

(1)

 

 

 

 

 

Pr r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

U

U

U

 

V

U

 

U

 

 

P

 

 

1

 

 

U

 

2U

 

2U

,

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

τ

 

r

 

 

z

 

 

 

 

 

z

 

r

 

 

 

r

 

 

z2

 

 

 

 

 

V

U

V

 

V

 

V

 

P

 

 

1

 

V

 

 

 

2V

 

 

2V

 

f

,

 

(3)

 

 

τ

r

 

 

z

 

z

 

r

 

 

r2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Построение разностной сетки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для того, чтобы определить значения ri , ri ,z j ,

z j необходимо

разбить полуокружность

на

 

2n

 

равных

 

частей.

Для

простоты

предположим n 4 . Полученные точки на границе полуокружности обозначим A, B, C, D, E, F, G, H, K. (рис. 1).

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

Рис. 1. а) построение разностной сетки; б) построение проекций

Спроектируем

эти

точки

на

оси

Or

и

Oz .

Полученные

проекции обозначим r , r , r

, r

, r

и z , z ,..., z .

 

 

 

 

0

1

2

3

4

0

1

8

 

 

 

Таким образом, на оси Or получилось 5 точек –

r0 , r1, r2 , r3, r4

(в общем случае

n 1

точка –

r , r , r ,..., r

), а

на оси

Oz

 

 

 

 

 

 

0 1

2

n

 

 

 

получилось 9 точек: z0 , z1, z2 , z3 , z4 , z5 , z6 , z7 , z8

(в общем случае

2n 1 точка – z0 ,

z1, z2 ,...,

z2n ). Найдём их координаты ri , z j

и их

соответствующие приращения

ri ri 1 ri ,

z j z j 1 z j . Исходя

4

из того, что радиус круга равен R , а число взятых нами точек – n , очевидно, что значения r0 z0 0, z8 2R .

Рассмотрим сектор KOH:

Рис. 2. Сектор KOH

Угол

α KOH

π

 

π

,

OK OH R ,

KOH

2n

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

равнобедренный, OKH OHK

 

,

KH R

sin

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

sin

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 sin KH R sin , z1 cos KH R ctg sin .

Очевидно, что z 2R z ,

 

r r r ,

z

z

 

7

1

 

0

1

0

0

1

z7 z0 .

Рассмотрим теперь сектор KOG:

Рис. 3. Сектор KOG

z0 ,

5

Угол

α KOG 2

π

 

π

,

OK=OG=R,

∆KOG –

2n

4

 

 

 

 

 

 

 

 

равнобедренный β OKG OGK

π α

, KG R

sin α

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sinβ

r2 sinβ KG R sinα, z2 cosβ KG R ctgβ sinα .

 

Очевидно, что z

2R z

2

,

r

r

r ,

z

z

z ,

6

 

 

1

2

1

1

2

1

z6 z1.

Рассмотрим сектор KOF:

 

 

Рис. 4. Сектор KOF

 

 

 

Угол α KOF 3

π

 

 

3π

,

OK=OF=R,

∆KOF

 

 

 

 

 

2n

8

 

 

 

 

 

равнобедренный, OKF OFK

, KF R

sin

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

sin

 

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3 sin KF R sin , z3

 

cos KF R ctg sin .

 

Очевидно,

что

z5 2R z3 ,

r2 r3 r2 ,

z2 z3 z2 ,

z5 z2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

r4 R, z4

R ,

r3 r4 r3 ,

z3 z4

z3 ,

z4 z3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из всего вышеизложенного можно вывести общие формулы для вычисления ri , z j .

ri R sin , z j R ctg sin , z2n j

2R z j ,

где i

 

,

 

при i 1, ..., n 1 и

j 1, ..., 2n 1.

2n

2

 

 

 

 

6

Значения r0 , rn , z0 , zn , z2n вычисляются отдельно: r0 z0 0 , rn zn R , z2n 2R .

Приращения будут вычисляться по формулам:

ri ri 1 ri ,

z j z j 1 z j ,

z2n j 1 z j .

при i 0, ..., n 1 и j

0, ..., 2n 1.

 

Заметим, что индекс i соответствует номеру узла сетки вдоль оси r , j – вдоль оси z .

4. Построение разностной системы уравнений.

Запишем разностные аналоги производных, входящих в уравнение (1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1, j i, j

 

 

i, j i 1, j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

i 1, j

 

 

 

i, j

 

 

ri

 

 

 

 

ri 1

 

 

 

r

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

i 1, j ri 1 i, j ri 1 i, j ri i 1, j ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

i

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1, j ri 1 i, j ( ri 1 ri ) i 1, j ri

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i, j 1 z j 1 i, j

( z j 1

z j ) i, j 1 z j

 

.

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

z2 j z j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьём область

изменения

t

промежутками

 

длиной .

Обозначим k k , тогда все переменные , входящие в (1) будут

иметь 3 индекса: i

– по оси r ,

j – по оси z ,

k

– по .

 

 

Запишем уравнение (1) в разностном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θik, j1 θik, j U k

 

θik 1, j θik, j V k θik, j 1 θik, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δτ

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

ri

 

 

 

i, j

 

 

z j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

k

( ri 1

 

ri )

 

k

ri

 

 

1 1

 

 

θi 1, j

θi, j

 

θi 1, j

ri 1 θi, j

θi 1, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pr ri

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θk

 

z

j 1

θk

(

z

j 1

z

j

) θk

z

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j 1

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

 

 

 

i, j 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Выразим из полученного разностного уравнения θi,k j1 .

 

 

 

k

 

k

k

 

k

 

 

 

 

k

k

 

θk 1

U k

θi 1, j θi, j

V k

θi, j 1

θi, j

 

1

 

1

 

θi 1, j θi, j

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

i, j

 

r

 

i, j

z

 

 

Pr r

 

 

r

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

j

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

k

 

 

r

k

( r

r ) k

 

 

r

 

 

 

i 1, j

i 1

 

i, j

 

 

i 1

 

i

 

i 1, j

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i 1

 

 

 

 

 

 

 

k

z

j

1

k

( z

j 1

z

j

) k

z

j

 

 

i, j 1

 

 

i, j

 

 

 

 

 

i, j 1

t ik, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

j z j 1

 

 

 

 

 

 

 

для i 1, ..., n 1

и

 

j 1, ..., 2n 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что построенное выражение позволяет явно выразить

неизвестное значение сеточной функции

при (k 1) t через

известные значения

 

функций

 

U , V ,

при

k . Поскольку

уравнение (1) составлено для внутренних точек области, то на

границе r R

функция

 

удовлетворяет

другому условию,

называемому граничным.

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия (для ):

 

 

 

 

θ

θ

r

θ

z

 

θ

cos( Or ,n )

θ

cos( Oz,n ) .

(4)

n

n

r

z

n

r

z

 

 

 

 

Рис. 5. Разложение вектора

Составим разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (4).

Для точек выше оси Or получаем:

8

 

 

i, j i 1, j

 

ri

 

i, j i, j 1

 

 

z j R

 

,

 

 

 

 

ri 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

z j 1

R

 

 

 

 

 

i, j z j 1ri i 1, j z j 1ri i, j ri 1(z j R) i, j 1 ri 1

(z j R)

,

 

 

 

ri 1R z j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j

ri 1R z j 1 i 1, j z j 1ri i, j 1 ri 1(z j R)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

z j 1ri ri 1(z j

R)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для точек ниже оси Or :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j i 1, j

 

ri

 

i, j 1 i, j

 

R z j

 

,

 

 

 

 

ri 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

z j

R

 

 

 

 

 

i, j z j ri i 1, j z j ri i, j 1 ri 1(R z j ) i, j ri 1(R z j ) ,

ri 1R z j

i, j ri 1R z j i 1, j z j ri i, j 1 ri 1(R z j ) .

z j ri ri 1(R z j )

В уравнение движения по оси r для внутренних точек сетки (2) применим следующие преобразования

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

Ui 1, j Ui, j

 

 

Ui, j Ui 1, j

 

 

 

 

2U

 

r

 

i 1, j r

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

ri 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ui 1, j ri 1 Ui, j ( ri 1 ri ) Ui 1, j ri

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

r

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

 

Ui, j 1 z j 1 Ui, j ( z j 1 z j ) Ui, j 1 z j

аналогично.

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 j z j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем уравнение (2) в разностном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

U k 1

U k

 

 

 

k

U k

 

U k

 

 

 

 

k

U k

 

 

 

U k

 

U k

 

 

 

 

i, j

 

i, j

 

U

 

i 1, j

 

 

 

 

i, j

V

 

i, j 1

 

i, j

 

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

z j

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pik

1, j Pik, j

 

 

1

 

 

U k

 

U k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1, j

 

 

 

 

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

9