Учебное пособие 800385

n cos ,cos ,cos , то выражение (2.44) для потока векторного поля a(M) можно записать в виде

Pcos Qcos Rcos dS

Каждое слагаемое в (2.47) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т.е. поток a ndS , очевидно, не

зависит от выбора системы координат.

2.8.2. Формула Остроградского – Гаусса в векторной форме.

ласть G ; n(M) cos ,cos ,cos -единичный вектор внеш-

P, Q, R непрерывны в простой замкнутой области G ,

x y z

ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса:

(Pcos Qcos Rcos )dS

Подынтегральная функция в тройном интеграле есть diva, а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля a через поверхность , Поэтому формулу (2.48) можно записать в векторной форме:

Т.е. поток векторного поля a через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля a. Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области G должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что тогда и diva будет отлична от нуля. Таким образом, diva характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название «расходимость» или

«дивергенция».

2.8.3. Соленоидальные поля и их свойства

Векторное поле a(M) , удовлетворяющее в области G условию diva 0, называется соленоидальным в этой области.

102

Пусть область V является объемно односвязной. Это означает, что если кусочно-гладкая замкнутая поверхность лежит в области G , то и область, ограниченная поверхностью, целиком принадлежит области G . Примерами объемно односвязных областей являются шар, параллелепипед, эллипсоид. Отметим, что тор не является поверхностно односвязной областью. Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной (но является поверхностно односвязной).

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что соленоидальное поле в объемно односвязной области обладает следующим свойством: поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность, расположенную в этой области, овен нулю. Иногда это свойство принимают за определение соленоидального поля.

Отметим, что если область не является односвязанной, то поток соленоидального (в этой области) поля через замкнутую поверхность, расположенную в области, может быть от-

личен от нуля. Так, электрическое поле E(M) точечного заряда e, помещенного в точку N , является соленоидальным в шаре с выброшенным центром (divE(M) 0 при M N ). Шар с выброшенным центром не является объемно односвя-

занной областью и поток поля E(M) через сферу с центром в точке N отличен от нуля.

Слово «соленоидальное» означает «трубчатое». Дляолееноидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, который состоит в следующем.

Пусть a(M) - соленоидальное поле. Рассмотрим отрезок «векторной трубки», т.е. область, ограниченную двумя сечениями 1 , 2 и боковой поверхностью 3 , состоящей из векторных линий (рис.2.15).

1 2 3

Рис. 2.15

Применим к такой области формулу Остроградского – Гаусса (2.49). Так как в соленоидальном поле diva 0, то поток векторного поля a(M) через поверхность области равен

откуда следует

где оба потока вычисляются в направлении векторных линий.

Таким образом, в соленоидальном (трубчатом) векторном поле aпоток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение. Это и есть закон сохранения интенсивности векторной трубки.

2.8.4. Инвариантное определение дивергенции

Пусть в области G , ограниченной поверхностью , определено векторное поле a(M). Запишем формулу (2.49) для векторного поля a в области G . Применяя к левой части этой области теорему о среднем, получим

V(G)

гдеV(G)-объемобласти G ,а M*-некотораяточкаобласти G . Зафиксируем точку M G и будем стягивать область G к точке M так, чтобы M оставалась внутренней точкой об-

ласти G . Тогда V(G) 0, а M* будет стремиться к M . В си-

лу непрерывности diva значение diva(M*) будет стремиться к diva(M). Таким образом, получаем

105

V (G) 0 V(G)

M G

Вправую часть формулы (2.54) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (поток векторного поля через поверхность и объем области). Поэтому формула (2.54) дает инвариантное определение дивергенции. Итак, дивергенция векторного поля зависит только от самого поля и не зависит от выбора системы координат.

2.8.5. Циркуляция векторного поля

Рассмотрим векторное поле a(M), определенное в пространственной области G , и некоторую кусочно-гладкую кривую L G , на которой указано направление обхода (выбор направления называют также ориентацией кривой).

Пусть (M) - единичный касательный вектор к кривой L в точке M , направленный в сторону обхода кривой. Криволинейный интеграл

называется циркуляцией векторного поля a вдоль кривой L в заданном направлении.

Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию), то вектор изменит направление на противоположное, поэтому скалярное произведение a , а значит, и циркуляция (криволинейный интеграл (2.55)) изменит знак.

106

Если a F - силовое векторное поле, т.е. F - вектор

силы, то циркуляция F dl представляет собой работу си-

L

лового векторного поля вдоль кривой L в заданном направлении.

Если в прямоугольной системе координат a {P,Q,R}, а{cos ,cos ,cos }, то выражение (2.55) для циркуляции поля a можно записать в следующем виде:

(Pcos Qcos _Rcos )dl Pdx Qdy Rdz. (2.56)

L L

Каждое слагаемое в правой части (2.57) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т.е. циркуляция

a dl , очевидно, не зависит от выбора системы координат.

L

Если ввести вектор dr {dx,dy,dz}, то циркуляцию мож-

но записать в виде a dr dl.

L

2.8.6. Формула Стокса в векторной форме

Пусть в области G определено векторное поле

a{P,Q,R};L - замкнутый контур, лежащий в области G ;

-произвольная поверхность, границей которой является кон-

P(x,y,z),Q(x,y,z),r(x,y,z) - непрерывны и имеют непрерыв-

ные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности . Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля a вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверхность векторного поля с

коэффициентами R Q, P R, Q P , т.е. поток rota

y z z x x y

через поверхность .

Поэтому формулу Стокса можно записать в векторной форме:

замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля a через поверхность, натянутую на этот контур.

Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура, окружающего некоторую выбранную точку поверхности, поле a должно поворачиваться (иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Стокса следует, что тогда и rota вблизи этой точки будет отличен от нуля. Таким образом, rota(M) характеризует завихрение поля в точке M . Отсюда и происходит название "вихрь" или "ротор".

2.8.7. Свойства потенциального поля

Как известно, векторное поле a(M), удовлетворяющее в области G условию a gradU , называется потенциальным в этой области (U - скалярный потенциал поля a(M)). Если поле a(M) {P,Q,R} потенциально в области G , то

является полным дифференциалом функции и в области G . Это означает, что выполнено условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.

Таким образом, потенциальное в области G поле обладает следующими свойствами.

1. Циркуляция потенциального поля a(M) вдоль любого замкнутого контура L G равна нулю:

потенциального поля a gradU вдоль кривой AB не зависит от выбора кривой AB G и равна разности значений потенциала U в точках A и B

109

Применительно к силовому потенциальному полю это свойство означает, что работа такого поля вдоль кривой AB не зависит от выбора кривой, а зависит только от начальной и конечной точек A и B.

3. Потенциальное поле a(M) является безвихревым, т.е.

Пусть теперь дано векторное поле a(M) {P,Q,R}, удовлетворяющее в области G условию rota 0. Следует ли отсюда, что поле a(M) - потенциально в области G ? Ответ на этот вопрос зависит от вида области G . Если G область является поверхностно односвязной, то из условия rota 0 сле-

т.е. поле a является потенциальным в области G . Таким образом, условие rota 0 является необходимым

и достаточным условием потенциальности поля a(M) в поверхностно односвязной области.

110

Если область G не является поверхностно односвязной, то условие rota 0 не достаточно для потенциальности поля a(M) в области G .

2.8.8. Инвариантное определение ротора

Пусть в области G определено векторное поле a(M). Зафиксируем точку M G и некоторую плоскость, проходящую через эту точку. Пусть n -единичный вектор нормали к плоскости, L - замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область такую, что M - внутренняя точка области Ф. Запишем формулу (2.8) для векторного поля a в области Ф. Применяя к правой части этой формулы теорему о среднем, получим

где S( ) - площадь области Ф, M* - некоторая точка области Ф.

Будем стягивать область Ф к точке M* так, чтобы M* оставалась внутренней точкой области Ф. Тогда S( ) 0, а

M* будет стремиться к M . В силу непрерывности rota, зна-

M

В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области). Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции rota в точке M на направление, определяемое заданным вектором n.

Итак, проекция ротора векторного поля на произвольное направление, а значит и сам rota зависит только от векторного поля a и не зависит от выбора системы координат.

Для определения вектора rota вышеуказанным способом достаточно рассмотреть в заданной точке M проекции rota на три произвольных, некомпланарных направления. Та-

{ x,y,z ;x2 y2 z h}в сторону внешней нормали.

Решение. Чтобы сделать возможным применение формулы Остроградского-Гаусса для вычисления искомого потока дополним заданную поверхность 1 (боковую поверхность конуса) к замкнутой кусочно-гладкой поверхности 2 (осно-

вание конуса, являющегося кругом x2 y2 h2; z h. При-

меним теперь формулу Остроградского-Гаусса к области Q, ограниченной замкнутой поверхностью Ф:

Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: x cos , y sin , z z. Уравнение конической поверхности примет вид z . Таким образом,

2 x y z dxdydz 2 d d cos sin z dz

Из равенства (*) следует:

Задача 3. Доказать, что циркуляция постоянного векторного поля a вдоль любого замкнутого кусочно-гладкого контура равна нулю.

Решение. Пусть L - замкнутый кусочно-гладкий контур, Ф - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на L. Согласно формуле Стокса

т.к. ротор постоянного поля равен нулю. Следовательно, циркуляция постоянного векторного поля вдоль любого за-

мкнутого контура равна нулю: a dr 0.

L

Задача 4. С помощью формулы Стокса найти циркуля-

цию векторного поля a yi x j zk вдоль замкнутого кон-

точки B a,0,2 b и A a,0,0 , причем обход контура совершается так, что по отрезку прямой движение происходит от точки В к точке А.

Ф3: x2 y2 a2 , z 2 b.

На цилиндрической поверхности Ф имеем rota n, по-

му rot a n 2k k 2. Применяя к полю a формулу Стокса, получим

Решение. Поле a определено во всем пространстве. Пространство является поверхностно односвязной областью, поэтому необходимое и достаточное условие потенциальности поля a имеет вид rota 0. Находим

Следовательно, a - потенциальное поле. Вычислим потенциал поля a, взяв в качестве начальной точки начало координат.

странства, кроме точек оси Oz. Следовательно, в любой поверхностно односвязной области, не содержащей точек оси Oz, поле a является потенциальным. Например, оно потенциально в первом октанте x 0, y 0,z 0 и его потенциал ра-

вен U arctg y 2z (проверьте это). x

Рассмотрим теперь область, содержащую точки оси Oz, например шар с центром в начале координат. Удалив из этого шара точки оси Oz (т.е. диаметр, лежащий на оси Oz), получим область Q, в которой поле a определено и rota 0. Однако эта область не является поверхностно односвязной, и поэтому из условия rota 0 нельзя сделать вывод о потенциальности поля a. Покажем, что поле a в области Q не является потенциальным.

Для этого рассмотрим лежащую в области Q

окружность L x Rcost, y Rsint,0 t 2 ,z 0 и

вычислим циркуляцию поля a вдоль окружности L, пробегаемой в направлении возрастания параметра t от 0 до

117

2 . Имеем

Следовательно, поле a не является потенциальным в области Q.

2.9. Оператор Гамильтона 2.9.1. Определение оператора Гамильтона

С помощью этого символического (операторного) «вектора» удобно записывать и выполнять операции векторного анализа.

118

В результате умножения вектора на скалярную функцию U(x,y,z) получается gradU :

2.9.2. Правила вычислений с оператором

1. Если оператор действует на линейную комбинациюaiFi , где Fi - скалярные или векторные функции, ai - числа,

2. Если оператор действует на произведение нескольких функций F , G , H (скалярных или векторных), то результат этого действия аналогичен результату дифференцирования

119

произведения в том смысле, что оператор последовательно применяют к каждому сомножителю (отметим его знаком ), а другие сомножители при этом считают фиксированными. Итак,

При этом следует иметь в виду, что слагаемые в правой части равенства (2.43) предварительно преобразуют по прави-

лам векторной алгебры так, чтобы за оператором стоял тот множитель, который отмечен знаком . После вычислений знаки опускают.

Пользуясь этим правилом, докажем, что

Учитывая, что div a b a b , по формуле (2.75) имеем

Чтобы в первом из двух смешанных произведений (2.77)

оператор действовал на вектор a, воспользуемся свойством смешанного произведения:

120