Методы и алгоритмы решения задач оптимального проектирования. Львович Я.Е., Литвиненко Ю.В

− , i ≠ e

Наконец, получим представление векторов A (j > m) в новом базисе. Из соотношения (2.33) имеем:

Выясним теперь, как преобразуются оценки ∆i при переходе к новому вектору x :

∆ = x yC +x C − C =

31

Пользуясь формулами (2.27), (2.37), будем продолжать итерационный процесс до тех пор, пока не придем к случаю 1 или 2.

Таким образом, применение симплексного метода к задаче (2.18) позволяет либо установить неразрешимость задачи, либо получить ее решение за конечное число (так как конечное число крайних точек множества R и значения целевой функции монотонно увеличивается при переходе к новой крайней точке).

В основе машинных способов алгоритмизации задач линейного программирования лежит формула (2.31). Соотношения (2.36) лежат в основе ручного способа решения задачи линейного программирования. Для унификации ручных расчетов используются симплексные таблицы.

Дадим теперь компактное описание итерационного шага симплексного метода для машинных расчетов. Запишем исходные данные задачи (2.18) в виде блочной матрицы:

быть получено умножением (2.38) слева на матрицу:

32

жащий вводу в базис (обычно выбирают наибольший по модулю отрицательный элемент ∆ ). Затем обратимся к k-му

x

(2.27),установим индекс ве вектора, выводимого из базиса. Последующая вычислительная процедура, связанная с заменой базиса, сводятся к умножению матрицы (2.40) слева на матрицу:

где E определяется формулой (2.31). Действительно,

33

2.4. Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса заключается в следующем. Ставится задача отыскания крайней точки множества R . Без ограничения общности будем считать, что B > 0.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

Доказательство. Заметим, что задача (2.42) всегда разрешима, т.к. ее допустимое множество не пусто, а целевая

С применением метода искусственного базиса исходная задача (2.42) решается в два этапа: сначала решается вспомогательная задача (2.42), а затем собственно задача (2.18). Рассмотрим метод, позволяющий объединить два этапа.

35

Исходя из задачи (2.18), построим следующую расши-

Здесь М- некоторое достаточно большое число.

2.5. Двойственный симплексный метод

Двойственный симплексный метод является методом последовательного уточнения оценок. Каноническая задача

Введем ряд определений. План двойственной задачи называется опорным, если после подстановки его в условие задачи можно выделить линейно-независимых ограничений в форме равенств.

Опорный план называется невырожденным, если остальные ограничения выполняются как строгие неравенства.

Допустим, что двойственная задача является невырожденной, т.е. любой опорный план этой задачи является невырожденным.

Пусть у — опорный план задачи (2.45). Тогда:

36

нием задачи (2.44).

Итак, если известен некоторый опорный план двойственной задачи, то тем самым гарантируется получение такого вектора , что = и ∆ ≥ 0, = 1,…, .

Идея двойственного симплексного метода состоит в том, чтобы так "улучшать" опорные планы двойственной задачи, переходя от одного к другому, чтобы соответствующий вектор I оказался неотрицательным. Иными словами, условие ̅≥ 0 является признаком оптимальности.

37

Сформулируем теперь правило перехода от одного опорного плана двойственной задачи к другому. Пусть

вом плане удовлетворяется как равенство, а е -е - как строгое неравенство. Запишем, как изменилось значение целевой

Рассмотрим применение двойственного симплексного метода к решению задач с возрастающим числом условий (ограничений).

Пусть вначале имеется прямая задача (2.44) и двойственная к ней (2.45). Известно, что − решение задачи (2.44), - решение задачи (2.45). Допустим, что к ограничениям за-

дачи (2.44) добавилось новое условие вида:

∑ ≤ .

В результате имеем следующую задачу:

→

= (2.58)

Для записи двойственной задачи удобно перейти к матричной форме записи задачи (2.59):

Применяя формальное правило построения двойственной задачи, получаем:

40