Учебное пособие 800297

1.3. Функции комплексного переменного

Определение функции комплексного переменного анало-

гично определению функции действительного переменного. На некотором множестве точек, изображающих значения ком-

плексной переменной z, задана функция w f z , если каж-

дой точке z этого множества поставлено в соответствие одно (в случае однозначной функции) или бóльшее число (в случае многозначной функции) значений w.

Примеры:

1. Функция w z2 однозначна и определена на всей комплексной плоскости, т.к. с помощью формулы (1.17), по которой производится возведение комплексного числа в степень, всякому комплексному числу z соответствует одно значение z2 .

2. Функция w Arg z многозначна и определена на всей

плоскости, за исключением точки z 0 .

Так как задание комплексного числа z равносильно заданию двух действительных чисел x и y, являющихся соответст-

венно его действительной и мнимой частями z x iy , а числу w точно так же однозначно соответствует пара действительных чисел u и v w u iv , то задание функции комплексного переменного w f z равносильно заданию двух функций

от двух действительных переменных x и y.

Пример: если w z2 , то полагая z x iy , w u iv , получим

f z u iv x iy 2 x2 y2 2ixy .

Следовательно, равенство w z2 равносильно равенствам

11

Каждой действительной функции f x действительно-

го переменного x ставится в соответствие некоторая кривая на плоскости OXY – график этой функции. Для функций комплексного переменного наглядное графическое представление невозможно. Вместо этого используется понятие отображения.

Если значения переменной z изображать с помощью точек некоторой плоскости (плоскости z), а значения функции w

– с помощью точек другой плоскости (плоскости w), то функция w f z устанавливает соответствие между точками плоскости z, в которых эта функция определена, и точками плоскости w. Другими словами, функция w f z осуществ-

ляет отображение точек плоскости z на соответствующие точки плоскости w. Точка w называется образом точки z, а точка z – прообразом точки w.

1.4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех значений z, удовлетворяющих условию z z0 , выполняет-

обратное утверждение.

12

Введенное нами определение предела функции комплексного переменного ничем не отличается от определения предела функции действительного переменного, следовательно, все доказываемые в курсе математического анализа теоремы о пределах и бесконечно малых остаются в силе для функций комплексного переменного.

Следует отметить, что предел функции f z при z z0

существует тогда и только тогда, когда существуют пределы этой функции, если z z0 по любой кривой L, проходящей

через точку z0 , и если все эти пределы равны между собой.

Это означает что существование предела накладывает на функции комплексного переменного более жесткие ограничения, чем на функции действительного переменного.

Функция f z называется непрерывной в точке z0 , если функция w f z определена в точке z0 и в некоторой ее ок-

Поскольку сформулированное нами определение непрерывности совпадает с определением непрерывности для функций действительного переменного, то доказываемые в курсе математического анализа теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного непрерывных функций, а также непрерывной функции от непрерывной функции остаются в силе для функций комплексного переменного.

Можно показать, что из непрерывности функции комплексного переменного f z следует непрерывность ее дей-

ствительной и мнимой частей u x, y и v x, y . Справедливо и обратное утверждение: непрерывность функций u x, y и v x, y влечет за собой непрерывность функции f z .

13

1.5. Основные трансцендентные функции комплексного переменного

1.5.1. Ряды с комплексными членами

Ряд с комплексными членами

так же, как и ряд с действительными членами, называется сходящимся, если существует конечный предел его частичной суммы Sn z1 z2 ... zn при n . Этот предел называется

суммой ряда: S lim Sn .

n

Ряд (1.22) сходится тогда и только тогда, когда сходятся

ряды

составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (1.22). Следовательно, для определения характера сходимости рядов с комплексными членами можно применять теоремы о сходимости рядов с действительными членами.

Если сходится ряд

составленный из модулей членов ряда (1.22), то ряд (1.25) также сходится и называется абсолютно сходящимся.

1.5.2. Показательная и тригонометрические функции

Введем определения основных трансцендентных функций для комплексных значений независимого переменного. Принимая во внимание известные для действительных значе-

14

Ряды, стоящие в правых частях этих равенств, сходятся, причем абсолютно, при любом комплексном значении z.

Функции ez , sin z , cos z связаны между собой формулой Эйлера:

Действительно, подставив в равенство (1.26) iz вместо z, получим:

Если в формуле Эйлера заменить z на –z, то получим

Следовательно, функция ez является периодической с периодом 2 i .

Если z x iy , где x и y – действительные числа, то

15

обращается в нуль ни при каком комплексном z.

Равенство (1.33) позволяет вычислять значения показательной функции при любых комплексных значениях показателя.

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,

sin2 z cos2 z 1,

cos z1 z2 cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , sin z1 z2 sin z1 cos z2 sin z2 cos z1 , cos 2z cos2 z sin2 z .

sin 2z 2sin z cos z .

Эти соотношения доказываются с помощью формул Эйлера. Докажем, например, первое свойство:

Тригонометрические функции комплексного переменно-

16

го периодичны. Функции cos z и sin z имеют, как и в случае действительного аргумента, период 2 , а функции tg z и ctg z

– период .

Формулы (1.31) и (1.32), а также формулы для косинуса суммы и синуса суммы позволяют вычислять cos z и sin z при любом комплексном значении аргумента z.

Пример 1: cos i e1 e 1 1, 543 . 2

Таким образом, cos i – действительное число, большее единицы (тогда как при действительном значении аргумента

Пример 2:

sin 1 2i sin1cos 2i cos1sin 2i ch 2sin1 i sh 2cos1.

1.5.3. Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Функции sh z и ch z раскладываются в тригонометрический ряд следующим образом:

Принимая во внимание формулы (1.31), (1.32), (1.34), (1.35), заметим, что гиперболические функции легко могут быть выражены через тригонометрические:

17

Из этих тождеств следует периодичность гиперболических функций, причем периоды sh z и ch z равны 2 i , а th z

и cth z равны i .

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции:

ch2 z sh2 z 1,

ch z1 z2 ch z1 ch z2 sh z1 sh z2 , sh z1 z2 sh z1 ch z2 sh z2 ch z1 , ch 2z ch2 z sh2 z ,

sh 2z 2sh z ch z .

1.5.4. Логарифмическая функция. Показательная функция с любым комплексным основанием

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Комплексное число w называется ло-

гарифмом комплексного числа z 0 , если ew z . В этом случае пишут w Ln z .

Положив z r ei , w u iv , получим, согласно определению логарифмической функции:

eu iv r ei ,

или

eu eiv r ei .

Отсюда имеем:

eu r , или u ln r ; v 2k , ( k 0, 1, 2,... ).

Следовательно,

w Ln z u iv ln r i 2k ,

Ввиду многозначности величины Arg z логарифм является многозначной функцией. Главным значением логарифма числа z называется то значение Ln z . Которое соответствует

18

главному значению аргумента числа z (при k 0 ) и обозначается символом ln z :

arg 1 , то

ln 1 ln1 i i ,

Ln 1 i 2k i 2k 1 i .

Из формулы (1.38) следует, что логарифмическая функция обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Ln z1z2 Ln z1 Ln z2 ,

В силу многозначности логарифма выражение a z , определенное равенством (1.40), многозначно. Его главным значением будем называть то, которое получается, если подставить в правую часть (1.40) ln a вместо Ln a .

Пример: Найти ii . Так как i 1 , arg i 2 , то

Ln i 2k i i2 4k 1 i2 ,

ii ei Ln i e 4k 1 2 ,

где k – любое целое число. Главное значение ii равно e 2 .

19

1.5.5. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим.

Если z sin w, то число w называется арксинусом числа z и обозначается w Arcsin z . Используя определение синуса,

имеем: z sin w eiw e iw , откуда eiw 2iz e iw 0 , или

2i

e2iw 2iz eiw 1 0 .

Решив это уравнение, получим:

eiw iz 1 z2 ,

т.е.

iw Ln iz 1 z2

Всилу многозначности логарифма и двузначности корня

вформуле (1.41), функция Arc sin z является многозначной.

Аналогично определяются и другие обратные тригоно-

Пример. Найти Arc sin 2 . С помощью (1.38) и (1.41) получим:

20