Учебное пособие 800257
.pdf
10
Материал балки ВСт.3, для которого расчетное сопротивление по пределу текучести , расчетное сопротивление при сдвиге .
Длины участков балки и расчетные значения нагрузок взять из табл.1.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
Номер строки |
F, кН |
|
|
|
|
|
|
|
01 |
12 |
|
1 |
|
2 |
24 |
5 |
|
02 |
10 |
|
2 |
|
2 |
16 |
4 |
|
03 |
12 |
|
3 |
|
2 |
12 |
6 |
|
04 |
6 |
|
2 |
|
3 |
18 |
2 |
|
05 |
8 |
|
1 |
|
3 |
20 |
4 |
|
06 |
10 |
|
3 |
|
1 |
12 |
2 |
|
07 |
6 |
|
2 |
|
2 |
12 |
3 |
|
08 |
8 |
|
1 |
|
2 |
12 |
6 |
|
09 |
6 |
|
2 |
|
1 |
16 |
5 |
|
10 |
12 |
|
1 |
|
3 |
10 |
6 |
|
11 |
11 |
|
1 |
|
2 |
12 |
6 |
|
12 |
12 |
|
3 |
|
3 |
18 |
2 |
|
13 |
10 |
|
2 |
|
3 |
20 |
4 |
|
14 |
12 |
|
1 |
|
1 |
12 |
2 |
|
15 |
6 |
|
2 |
|
2 |
12 |
3 |
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
1 схема |
|
|
2 схема |
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 3 |
1 схема |
2 схема |
11
Вариант 4
1 схема 2 схема
|
Вариант 5 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 6 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 7 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 8 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 9 |
1 схема |
2 схема |
12
|
Вариант 10 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 11 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 12 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 13 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 14 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 15 |
1 схема |
2 схема |
13
|
Вариант 16 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 17 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 18 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 19 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 20 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 21 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 22 |
1 схема |
2 схема |
14
|
Вариант 23 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 24 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 25 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 26 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 27 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 28 |
1 схема |
2 схема |
15
|
Вариант 29 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 30 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 31 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 32 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 33 |
1 схема |
2 схема |
|
Вариант 34 |
1 схема |
2 схема |
Рис. 4. Расчетные схемы балок
16
3.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК
3.1.Пример решения задачи № 1
Для деревянной балки консольного крепления, расчетная схема которой приведена на рис. 5,а, из условия прочности по методу предельных состояний
подобрать |
размеры |
и в прямоугольного поперечного сечения (рис. 5,б), |
||
приняв |
в, |
, расчетное сопротивление дерева на растяжение |
||
, расчетное сопротивление при сдвиге |
. |
|||
Расчетные значения нагрузок: |
, М=25 кН |
, |
||
Рис. 5. Расчетная схема балки (а), эпюры поперечных сил (в) и изгибающих моментов (г)
Решение 1. Определение вида расчета.
По условию задачи требуется подобрать размеры поперечного сечения балки, т.е. требуется выполнить проектный расчет. Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению
17
|
|
|
|
| |
| |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
значение расчетного |
сопротивления |
задано, то |
для |
||||||||
выполнения расчета следует знать | |
| |
. Для |
проверки |
прочности |
по |
||||||||
касательным |
напряжениям |
необходимо |
знать | |
| |
. Для |
определения |
|||||||
| | |
и | |
| |
строим эпюры |
и . |
|
|
|
|
|
||||
2.Построение эпюр |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) Определение реакций опор. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Обычно построение эпюр |
и |
начинают с определения реакций опор. |
||||||||||
В данной задаче балка консольная, поэтому нет необходимости определять реакции опор, так как эпюры и можно построить, двигаясь от свободного конца к заделке и рассматривая отсеченную правую часть, на которую не наложены связи.
б) Разбиваем балку на участки.
Используя правило, изложенное в разделе 1.1, разбиваем балку на три участка.
в) Записываем аналитические выражения и по участкам.
Рассекая балку на каждом из участков произвольным сечением, координаты
которых обозначены |
и рассматривая каждый раз отсеченную правую |
||||
часть балки, записываем выражения |
и |
по участкам |
|||
Участок I: |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|||
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что поперечная
сила |
изменяется |
по линейной зависимости, а изгибающий момент – |
||||
квадратичная функция |
координаты . Определим значения |
и |
в |
|||
граничных сечениях I участка: |
|
|
|
|
||
при |
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как поперечная сила |
на первом участке, меняя знак в одном из |
|||||
сечений (обозначим его координату ) , обращается в нуль (см. рис. 5,в), то в соответствии со следствием 3 из дифференциальных зависимостей (1.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь локальный экстремум.
18
Приравнивая выражение |
нулю, определим координату |
этого |
сечения: |
|
|
|
, отсюда |
|
.
Подставляя значение |
в выражение |
, находим экстремальное значение |
на первом участке. Это будет локальный максимум
Переходим к рассмотрению участка II.
Участок II:
Рассматривая отсеченную правую часть, получим:
Таким образом, постоянна и равна координаты . Для
поперечная сила во всех сечениях второго участка
+, а изгибающий момент – линейная функция
построения эпюры |
на втором участке определим |
значения |
в граничных сечениях этого участка. |
При |
; |
при |
|
|
. |
Участок III:
Рассматривая по-прежнему отсеченную правую часть, получим:
;
Как и на участке II, поперечная сила на участке III постоянна во всех его поперечных сечениях (т.к. не зависит от координаты ), а изгибающий момент
– линейная функция координаты |
. Для построения эпюры |
на участке III |
определим значения изгибающего |
момента в граничных |
сечениях этого |
участка. |
|
|
При |
|
|
; |
|
|
. |
|
|
19
г) По полученным данным строим эпюры |
и |
, располагая их строго под |
|||
схемой балки (рис. 5,в,г). |
|
|
|
|
|
Для построения эпюры |
проводим нулевую линию эпюры параллельно |
||||
оси балки. Положительные значения |
откладываем выше нулевой линии, а |
||||
отрицательные – ниже (рис. 5,в). |
|
|
|
||
Для |
построения эпюры |
проводим |
нулевую |
линию параллельно оси |
|
балки. |
Положительные значения |
откладываем |
ниже нулевой линии, а |
||
отрицательные – выше (рис. 5,г).
д) Используя следствия из дифференциальных зависимостей, проводим проверку правильности построения эпюр.
3. Подбор размеров поперечного сечения |
|
||||
Из эпюры |
следует, что | | |
, следовательно, |
|||
|
| | |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осевой момент сопротивления для прямоугольного сечения при заданном соотношении сторон ( в) определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
. |
|
Приравнивая |
|
найдем размер в: |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
; в √ |
|
. |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
Округляя в большую сторону, примем:
в , .
Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям:
| |
| |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
Прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Недонапряжение в 1% объясняется округлением размера сечения в в большую сторону.
4. Проверка прочности по касательным напряжениям
Поскольку балка изготовлена из дерева, то проверка прочности по касательным напряжениям является обязательной.
Для проверки прочности по касательным напряжениям используем условие (1.11):
| | |
| |
| |
| |
|
| |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
Из эпюры поперечны сил следует, что