Учебное пособие 800201
.pdf
3. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ
3.1. Задача № 3. Расчет на прочность и жесткость защемленного вала постоянной жесткости
К стальному полому валу постоянной жесткости (рис. 3.1) приложены заданные скручивающие моменты М1, М2 ,
М3, М4 , М5. Требуется:
1)при заданном значении допускаемого касательного напряжения [ ]= 80 МПа определить диаметры вала, приняв d= 0,8 D;
2) проверить жесткость вала, приняв модуль сдвига
G=8 · 104 МПа и [ |
]=3 |
град |
. |
|
|
м |
|
Данные взять из табл. 3.1. |
|
||
M1 M2 |
|
M3 M4 M5 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
. |
. |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
a |
b |
c |
a |
b |
d
D
Рис. 3.1
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
№ |
|
Моменты, кНм |
|
|
Размеры, м |
|
Коэффициенты |
||||||
|
вари- |
М1 |
М2 |
М3 |
М4 |
М5 |
a |
|
b |
|
c |
К1 |
К2 |
К3 |
|
анта |
|
|
|||||||||||
|
1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
0,1 |
|
1,0 |
|
0,5 |
0,6 |
0,5 |
2,0 |
|
2 |
0,2 |
|
-0,6 |
|
|
0,2 |
|
0,9 |
|
0,6 |
0,7 |
0,6 |
1,9 |
|
3 |
0,2 |
|
|
-0,8 |
|
0,3 |
|
0,8 |
|
0,7 |
0,8 |
0,7 |
1,8 |
|
4 |
0,2 |
|
|
|
1,0 |
0,4 |
|
0,7 |
|
0,8 |
0,9 |
0,8 |
1,7 |
|
5 |
|
0,4 |
-0,6 |
|
|
0,5 |
|
0,6 |
|
0,9 |
1,0 |
0,9 |
1,6 |
|
6 |
|
0,4 |
|
-0,8 |
|
0,6 |
|
0,5 |
|
1,0 |
0,9 |
0,8 |
1,5 |
|
7 |
|
0,4 |
|
|
1,0 |
0,7 |
|
0,4 |
|
0,9 |
0,8 |
0,7 |
1,4 |
21 |
8 |
|
|
-0,6 |
-0,8 |
|
0,8 |
|
0,3 |
|
0,8 |
0,7 |
0,6 |
1,3 |
|
9 |
|
|
-0,6 |
|
1,0 |
0,9 |
|
0,2 |
|
0,7 |
0,6 |
0,5 |
1,2 |
|
10 |
|
|
|
-0,8 |
1,0 |
1,0 |
|
0,1 |
|
0,6 |
0,7 |
0,6 |
1,1 |
|
11 |
-0,2 |
0,4 |
|
|
|
0,9 |
|
1,0 |
|
0,5 |
0,8 |
0,7 |
1,2 |
|
12 |
-0,2 |
|
0,6 |
|
|
0,8 |
|
0,9 |
|
0,4 |
0,9 |
0,8 |
1,3 |
|
13 |
-0,2 |
|
|
0,8 |
|
0,7 |
|
0,8 |
|
0,3 |
1,0 |
0,9 |
1,4 |
|
14 |
-0,2 |
|
|
|
1,0 |
0.6 |
|
0,7 |
|
0,2 |
0,9 |
0,8 |
1,5 |
|
15 |
|
0,4 |
0,6 |
|
|
0,5 |
|
0,6 |
|
0,1 |
0,8 |
0,7 |
1,6 |
|
16 |
|
0,4 |
|
0,8 |
|
0,4 |
|
0,5 |
|
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,7 |
|
17 |
|
0,4 |
|
|
-1,0 |
0,3 |
|
0,4 |
|
0,3 |
0,6 |
0,5 |
1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 3.1 |
||
|
№ ва- |
|
Моменты, кНм |
|
|
Размеры, м |
|
Коэффициенты |
||||||
|
рианта |
М1 |
М2 |
М3 |
М4 |
М5 |
a |
|
b |
|
c |
К1 |
К2 |
К3 |
|
18 |
|
|
-0,6 |
0,8 |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,4 |
0,7 |
0,6 |
1,9 |
|
19 |
|
|
-0,6 |
|
-1,0 |
0,1 |
|
0,2 |
|
0,5 |
0,8 |
0,7 |
2,0 |
|
20 |
|
|
|
0,8 |
-1,0 |
0,2 |
|
0,1 |
|
0,6 |
0,9 |
0,8 |
1,9 |
|
21 |
0,2 |
-0,4 |
|
|
|
0,3 |
|
1,0 |
|
0,7 |
1,0 |
0,9 |
1,8 |
|
22 |
0,2 |
|
0,6 |
|
|
0,4 |
|
0,9 |
|
0,8 |
0,9 |
0,8 |
1,7 |
|
23 |
0,2 |
|
|
0,8 |
|
0,5 |
|
0,8 |
|
0,9 |
0,8 |
0,7 |
1,6 |
|
24 |
0,2 |
|
|
|
-1,0 |
0,6 |
|
0,7 |
|
1,0 |
0,7 |
0,6 |
1,5 |
22 |
25 |
|
-0,4 |
0,6 |
|
|
0,7 |
|
0,6 |
|
0,9 |
0,6 |
0,5 |
1,4 |
26 |
|
-0,4 |
|
-0,8 |
|
0,8 |
|
0,5 |
|
0,8 |
0,7 |
0,6 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
27 |
|
-0,4 |
|
|
1,0 |
0,9 |
|
0,4 |
|
0,7 |
0,8 |
0,7 |
1,2 |
|
28 |
|
|
0,6 |
-0,8 |
|
1,0 |
|
0,3 |
|
0,6 |
0,9 |
0,8 |
1,1 |
|
29 |
|
|
0,6 |
|
1,0 |
0,9 |
|
0,2 |
|
0,5 |
1,0 |
0,9 |
1,2 |
|
30 |
|
|
|
-0,8 |
-1,0 |
0,8 |
|
0,1 |
|
0,4 |
0,9 |
0,8 |
1,3 |
|
31 |
-0,2 |
-0,4 |
|
|
|
0,7 |
|
1,0 |
|
0,3 |
0,8 |
0,7 |
1,4 |
|
32 |
-0,2 |
|
-0,6 |
|
|
0,6 |
|
0,9 |
|
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,5 |
|
33 |
-0,2 |
|
|
-0,8 |
|
0,5 |
|
0,8 |
|
0,1 |
0,6 |
0,5 |
1,6 |
|
34 |
-0,2 |
|
|
|
-1,0 |
0,4 |
|
0,7 |
|
0,2 |
0,7 |
0,6 |
1,7 |
|
35 |
|
-0,4 |
-0,6 |
|
|
0,3 |
|
0,6 |
|
0,3 |
0,8 |
0,7 |
1,8 |
3.2. Задача № 4. Расчет на прочность и жесткость ступенчатого вала в подшипниковых опорах
К ступенчатому стальному валу сплошного сечения, установленного в подшипниковых опорах (рис. 3.2), приложены заданные скручивающие моменты М1, М2 , М3, М4 , М5 и
момент М.
Требуется: 1) при заданном значении допускаемого касательного напряжения [ ] = 80 МПа определить диаметры ступеней вала; 2) проверить жесткость вала, приняв модуль
сдвига G=8•104 МПа и [ ]=0,05 1/м.
Данные взять из табл. 3.1.
M1 |
M2 |
M3 M4 |
M5 |
M + |
|
. |
D |
D |
. . |
. |
3 D |
1 . |
2 . |
||||
|
K |
K |
|
|
K |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
a |
b |
c |
a |
b |
c |
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
3.3. Основные понятия и зависимости [1] |
|
||||
Под кручением понимают такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Стержень, работающий на кручение, назы-
23
вают валом. Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного скручивающими моментами, определяется по формуле
n |
|
Мк = Miz , |
(3.1) |
i 1 |
|
где Miz - i-й скручивающий момент, приложенный по одну
сторону от указанного сечения; n- число моментов, приложенных к отсеченной части вала. При записи этого соотношения принимается, например, следующее условное правило знаков, согласно которому крутящий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, когда Мiz стремится совер-
шить поворот отсеченной части вала против хода часовой стрелки, относительно оси Z вала, если смотреть со стороны отброшенной части.
Условие прочности при кручении круглого вала записывается в виде
|
max |
|
|
|
|
Мк |
|
|
, |
(3.2) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Wp |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - допускаемое касательное напряжение; |
|
|||||||||
W p= D3(1 4)/16 0,2D3(1 4)- полярный момент сопро-
тивления сечения вала с наружным диаметром D и диаметром соосного отверстия d, где d /D.
Взаимный угол поворота концевых сечений вала со ступен-
чатым изменением жесткости определяют по формуле |
|
||
m |
M l |
|
|
|
кi i |
, |
(3.3) |
G J |
|||
i 1 |
i Pi |
|
|
где Gi - модуль сдвига i-того участка; Mкi - крутящий момент на i-том участке; li -длина i-го участка;
24
Jpi D4 1 4 /32 0,1D4 1 4 полярный момент инерции сечения i-го участка вала; m- число участков вала.
Условие жесткости по относительному углу закручивания представляется в виде
|
Mк |
|
|
, |
(3.4) |
|
|
||||
|
|
|
|
||
GJp |
|
||||
где - допускаемоезначениеотносительного углазакручивания.
3.4. Пример 1. Расчет на прочность и жесткость защемленного вала постоянной жесткости
К стальному валу кольцевого сечения (рис. 3.3) приложены заданные скручивающие моменты М1= 0,2 кНм и М5=1
кНм. Требуется: |
|
|||
1) |
при заданном значении допускаемого касательного |
|||
напряжения |
80МПа определить диаметры вала, |
приняв |
||
d=0,8 D; |
|
|
|
|
2) |
проверить жесткость вала, приняв модуль |
сдвига |
||
G=8 104МПа и допускаемый относительный угол закручивания |
||||
3град |
|
Длины участков вала: a=0,2 м; b=0,4 м; с=0,6 м. |
||
|
м. |
|
|
|
Решение Проектный расчет вала на прочность выполняем из усло-
вия прочности (3.2), откуда следует, что полярный момент сопротивления сечения вала
W |
|
|
Mк |
|
|
. |
(3.5) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
||||
Учитывая, что вал имеет постоянное по всей длине кольцевое сечение, из (3.5) получим формулу для расчета наружного диаметра вала
25
|
|
|
|
16 |
Мк |
|
|
|||
|
D 3 |
|
1 4 . |
(3.6) |
||||||
Здесь d |
D |
0,8; |
|
М |
к |
|
- расчетный |
крутящий момент, |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
который для вала постоянного сечения равен максимальному по абсолютной величине крутящему моменту, установленному по эпюре крутящих моментов.
Для построения эпюры крутящих моментов вначале разбиваем вал на участки. Границами участков в нашем случае служат сечения, в которых приложены скручивающие моменты. В рассматриваемой задаче участков будет два, пронумеруем их справа налево. Делая сечения на каждом из выделенных участков и используя соотношение (3.1), запишем уравнения крутящих моментов, рассматривая каждый раз расположенную справа от сечения часть вала (чтобы не определять реактивный
момент). |
0 Z1 a 2b c; Мк1 |
М5 1кНм. |
|
Участок I: |
|||
Участок II: |
0 Z2 a; Мк2 М5 |
М1 |
1 0,2 0,8кНм. |
По полученным значениям строим эпюру крутящих |
|||
моментов в |
координатах “Мк Z ” |
в соответствующем |
|
масштабе (рис. 3.3). |
|
|
|
Проверку правильности построения эпюры крутящих моментов производим, используя следующее правило. В сечении, в котором приложен внешний момент, на эпюре Мк должен быть разрыв (скачок) на величину этого момента. Из эпюры крутящих моментов следует, что расчетный крутящий момент
Мк 1кНм.
По формуле (3.6) рассчитываем наружный диаметр вала
|
16Mк |
|
|
16 1 |
106 |
D 3 |
1 4 |
3 |
3,14 80 |
1 0,84 47,6мм. |
|
Для установления номинального значения наружного диаметра вала округляем его расчетное значение до ближай-
26
шего целого, в мм. и принимаем D = 48 мм. Тогда внутренний |
|||||
диаметр вала d = D 0,8 48 38,4мм. |
|
||||
|
II |
M1 |
I |
M5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
. |
. |
. |
d |
|
Z2+ |
|
Z1 |
|
D |
|
|
|
|||
|
a |
|
a + 2b + c |
|
|
Mк, |
|
|
|
|
|
кHм |
|
|
|
1,0 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
0 |
|
|
|
Z, м |
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
Выполним проверочный расчет вала на жесткость, исполь- |
|||||
зуя условие жесткости (3.4). |
|
|
|||
При постоянной |
по длине вала крутильной жесткости |
||||
GJP |
наибольший относительный угол закручивания |
max |
|||
будет иметь место на первом участке, на котором Mк 1kH м. |
|||||
|
|
|
27 |
|
|
|
max |
|
|
Мк1 32 |
|
|
|
|
1 106 32 |
|
0,041 10 |
3 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
G D4 1 4 |
8 104 3,14 484 1 0,84 |
|
мм. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Допускаемый относительный угол закручивания |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3град |
|
3 3,14 |
0,052 10 3 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
180 |
103 |
|
мм. |
|
|
|
|
||
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
0,041 10 |
3 1 |
0,052 10 3 1 |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
мм |
|
|
|
мм |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то условие жесткости выполняется.
3.5. Пример 2. Расчет на прочность и жесткость ступенчатоговала, установленноговподшипниковыхопорах
К ступенчатому стальному валу сплошного сечения, установленному в подшипниковых опорах (рис. 3.4), приложены заданные скручивающие моменты М1 0,2кНм, М4 0,8кНм и момент М.
Требуется:
1)из уравнения равновесия вала определить момент М;
2)при заданном значении допускаемого касательного
напряжения 80мПа определить диаметры ступеней вала,
если К1 0,8; К2 0,5; К3 1,5; 3) проверить жесткость вала, приняв модуль сдвига
G 8 104мПа и 0,05 1м. Длины участков вала: a =0,2 м, b =0,4 м, с = 0,6 м.
Решение Проектный расчет вала на прочность выполняем, исполь-
зуя условие прочности (3.2), записанное для каждого из участков вала в виде
|
|
Мкi |
|
|
, |
(3.7) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Wpi
где i-номер участка вала.
28
Учитывая, что на каждом участке вал имеет сплошное сечение, для которого полярный момент сопротивления сечения
вала Wpi Ki3D3 /16, используя (3.7) получим формулу для расчета диаметра вала D из условия прочности i-того участка
16 |
Mкi |
|
|
|
|
D 3 |
|
|
|
, |
(3.8) |
|
|
|
|||
Ki |
3 |
|
|
||
где Мki - крутящий момент на i-том участке вала, взятый по абсолютной величине.
Значение Мki устанавливается по эпюре крутящих мо-
ментов. Для построения эпюры крутящих моментов необходимо определить скручивающий момент M. Для этого составим уравнение равновесия вала
МZ 0; M M4 M1 0,
откуда M M4 M1 0,8 0,2 1кНм.
Разобьем вал на участки. Границами участков в данной задаче служат сечения, в которых приложены внешние моменты и меняется диаметр вала. Делаем сечения на каждом из выделенных участков и, используя соотношение (3.1), записываем уравнения для определения крутящих моментов.
Участок 1;0 Z1 a ; Mк1 0;
Участок 2; 0 Z2 b; Mк1 M1 0,2 кНм; Участок 3; 0 Z3 c a;Mк1 M1 0,2 кНм; Участок 4; 0 Z4 b c; Mк1 M 1кНм
По рассчитанным значениям крутящих моментов строим эпюру в координатах "Мк Z ” (рис. 3.4). Из условия прочности, записанного для каждого выделенного участка вала, по формуле (3.8) рассчитываем диаметр вала
D 3 |
|
|
|
Мк2 |
|
16 |
|
0,2 10616 |
мм; |
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
29,2 |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
К3 |
3,14 80 0,83 |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
29