Учебное пособие 800163

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

университет»

Кафедра прикладной математики и механики

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения

Воронеж 2015

Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. физ.-мат. наук Т.И. Костина, канд. техн. наук О.А. Соколова

УДК 517.2 (07)

Задания и методические указания к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, Т.И. Костина, О.А. Соколова. Воронеж, 2015. 26 с.

Методические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов по высшей математике. Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD 2003 и содержатся в файле “ТР_ФнпДуМс15.pdf”.

Библиогр.: 5 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015

Задание № 1. Даны: функция z = f (x,y), точка А и век-

тор а . Требуется найти: 1) направление наибольшего возрастания функции z (т.е. grad z) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении; 2) производную в точке А по направлению

вектора а ; 3) экстремум функции z = f (x,y).

Задание № 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.хуdx (x 1)dу 0 ;

2.yy 1 x2 3 y2 0;

3.1 y2 dx xydy ;

4.x1 y2 yy 1 x2 0 ;

5.(х2 1) у 2ху2 0 ;

6.4 y2 dx ( y x2 y)dy 0 ;

7.у ctgx у 0 ;

8.x3 y2 dx y2 x2 dy 0 ;

9.xу y у2 ;

10.(е2 x 5)dy уе2 xdx 0 ;

11.у ху2 2xy ;

12.yy 1 x2 1 y2 0 ;

2

13.2х2 yу у2 2 ;

14.x4 y2 dx y1 x2 dy 0 ;

15.хyу 1 х2 ;

16.(еx 8)dy yеx dx 0 ;

17.у tgx у ;

18.5 y2 yy 1 x2 0 ;

19.y ln y xу 0 ;

20.y(еx 4)dy еx dx 0 ;

21.yy (1 x2 ) /(1 y2 ) 1 0 ;

22.6xdx 6ydy 3x2 ydy 2xy2 dx;

23.x5 y2 dx y4 x2 dy 0;

24.y 4 x2 xy2 x 0 ;

25.2xdx 2ydy x2 ydy 2xy2 dx;

26.x4 y2 dx y1 x2 dy 0 ;

27.(еx 8)dy yеx dx 0 ;

28.5 y2 yy 1 x2 0 ;

29.(еx 3) yy еx ;

30.(еx 1) yу еx .

Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.у 8x 5y ; 5x 2 y

2.у x y ;

xy

3

3.у xy tg xy ;

4.у y2 8y 12 ;

x2 x

5.xy y ln xy 0 ;

6.xy y хе y x ;

7.xy y x2 y2 0 ;

8.x2 y y2 2ху ;

9.4xуy y2 3х2 0 ;

19.xуy y2 8х2 ;

20.xy y ln xy ;

21.xy ' = 32x2 + y2 + y ;

4

x2 + 3xy - 3y2 23. y ' = x2 - 4xy ;

29. y ' = x2 + xy - 5 y2 ; x2 - 6xy

30. xy ' = 4x2 + y2 + y .

Задание № 4. Найти частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию.

Задание № 5. Найти решение задачи Коши.

1.y '- y = xy2 , y (0) = 1/ 2;

2.y '+ yx = (1+ x)e- x y2 , y (0) = 1;

3.xy '+ y = 2 y2 ln x, y (1) = 12 ;

4.2(xy '+ y) = xy2 ln x, y (1) = 2 ;

5.3(xy '+ y) = y2 ln x, y (1) = 3 ;

6.3xy '+ 5y = y4 (4x - 5), y (1) = 1;

7.3(xy '+ y) = xy2 , y (1) = 3 ;

8.y '+ 4yx3 = 4(1+ x3 )e-4x y2 , y (0) = 1;

9.xy '- y = -y2 (ln x + 2)ln x, y (1) = 1;

10.3y '+ 2yx = 2xy-2e-2x2 , y (0) = -1;

11.2(xy '+ y) = y2 ln x, y (1) = 2 ;

12.y '+ y = xy2 , y (0) = 1;

13.y '- 2xy = 2x3 y3 , y (0) = 2 ;

14.xy '+ y = y2 ln x, y (1) = 1;

15.y '+ yx = ex y2 (x -1), y (0) = 1;

16.2( y '+ y) = xy2 , y (0) = 2 ;

17.2(y '+ yx) = (1+ x) e- x y2 , y (0) = 2 ;

18.2y '+ y cos x = y-1 cos x (1+ sin x), y (0) = 1 ;

19.y '+ 4yx3 = 4e4x y2 (1- x3 ), y (0) = -1;

20.2xy '- 3y = - y3 (5x2 + 3), y (1) = 1/ 2;

21.2y '+ 3y cos x = y-1e2 x (2 + 3cos x), y (0) = 1;

7

22.2xy '- 3y = - y3 (20x2 +12), y (1) = 1/(22); ;

23.2y '+ 3y cos x = y-1e2 x (8 +12cos x), y (0) = 2 ;

24.4y '+ yx3 = (x3 + 8) y2e-2 x , y (0) = 1;

25.8xy '-12y = - y3 (5x2 + 3), y (1) = 2 ;

26.y '- y = xy2 , y (0) = 1;

27.y 2y y2ex . y (0) = 1;

28.2y '- 3y cos x = - y-1e-2x (2 + 3cos x), y (0) = 1;

29.y 2xy 2x3 y3 , y (0) = 1;

Задание № 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.xу y х2 0 ;

2.у еу y 0 ;

3.у y ctgx sin x ;

4.yу ( y )2 0 ;

7.xу 2y 2х4 ;

8.у3 у 3 ;

9.xу ln x 1;

10.у x / y ;

11.у y tgx cos x ;

8