Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800155

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

683.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

	x
14.20.	y arcsin		, y arcsin x, y		.
14.20.	y arcsin		, y arcsin x, y		.
		2		2

14.21.y x2 2x 1, x 2, y 0.

14.22.y x3 , x 0, y 1.

14.23.y ln x, x 2, y 0.

14.24.y x2 1, y x, x 0, x 1.

		x
14.25.	y arcsin		,	x 0,	y		.
14.25.	y arcsin		,	x 0,	y		.
		2				2
14.26. y x2 ,		x 2,		y 0.
	x 2 y 2

14.27.4 9 1.

14.28.y x2 2x 1, x 0, y 0.

14.29.y x3 , x 2, y 0.

14.30.y x2 2, x 0, y 3.

			ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание				1. Найти неопределенный интеграл
1				1


9 x	2		4	9	x dx .
9 x		x		9

Решение.

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов, поскольку в каждом из получаемых интегралов требуются различные варианты замены переменной.

1				1		x					x


9 x	2		4	9	x dx =	9 x	2	dx +	x	4	9	dx .
9 x		x		9		9 x			x		9

				x							t 9 x2 ,										1		dt
							dx																							c				9 x2			c
																												t
											dt 2xdx										2
		9 x2									dt 2xdx										2				t
																	,
			x							z x2 ,						1			dz					1			z					1					2
										z x2 ,																											2
						dx																									c				x			c
x	4					dx			dz 2xdx							2		z	2	9				6		arctg					c	6	arctg			3		c
x			9						dz 2xdx							2		z		9				6			3					6				3
																	.
				1										1													1				x2
				1										1													1				x2
															x dx							9 x2							arctg						c .
															x dx							9 x2							arctg						c .
					9 x			2				x	4	9													6					3
					9 x							x		9													6					3

Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.

а)

x5 ln x dx.

Решение.

u ln x, du

ln x dx

ln x

dv x

5 dx, v

ln x

C .

б)

x2 e x dx .

Решение:

u x2 ,

du 2xdx

2xe

dx.

dx,

v e

dv e

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

x2 e x 2 xe x dx u x,dv e x dx,

du dx

x 2 e x 2xe x v e x

2 e x dx x2 e x 2xe x 2e x C.

Задание 3. Найти неопределённый интеграл		2x 1		dx .
Задание 3. Найти неопределённый интеграл	2	(x 2)	2	dx .
	x	(x 2)

Решение.

Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

2x 1

x 2 x 2 2

x 2

(x 2)2

2x 1 A x3 4x2 4x B x2 4x 4 C x3 2x2 Dx2 ,

A C 0,

x 2

4 A B 2C D 0,

4 A 4B 2,

x 0

4B 1.

, A

, C

, D

Имеем:

2x 1

2 2

(x 2)

x 2

2 4

x 2

C .

4(x

Задание 4. Найти неопределённый интеграл

(x2 9)(x2 x 1) dx .

Решение.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби

1	Ax B	Cx D
			.
x 2 9 x 2 x 1	x 2 9	x 2 x 1	.
	21

Приведем к общему знаменателю и тождественно приравняем числители:

1 Ax x2 x 1 B x2 x 1 Cx x2 9 D(x2 9) .

x3		A C 0,
x3		A C 0,
x 2		A B D 0,
x		A B 9C 0,
x 0		B 9D 1.

A			1		, B					8		, C			1	, D					9		.
A					, B							, C				, D							.
			73						73						73					73
						.
		Подставим найденные коэффициенты в разложение ра-
циональной функции:
																							x							8						x	9
													1
													1							73								73						73			73
																																						.
							x 2 9 x 2 x 1															x2 1													x2 x 1			.
		Окончательно получим:
			dx								1				xdx					8dx									(x 9)dx

(x2 1)(x2														x2				x2									x2
(x2 1)(x2						x 1)					73			x2			1	x2					1				x2					x 1
																									1								17
																				x															dx
																				x															dx
	1			1																					2							2
						ln(x 2			1) 8arctgx
	73			2		ln(x 2			1) 8arctgx																		1				2			3
	73			2																							1							3
																					x
																					x						2							4
																											2							4
																										1
																										1
																					x							dx
																					x							dx
	1			1				2																			2
						ln(x			1) 8arctgx
	73			2		ln(x			1) 8arctgx															1				2				3
	73			2																				1								3
																			x
																			x													4
																								2								4
																				22


									1
									1
1						d x
						d x			2
		17							2

73			2				1		2	3
73			2				1			3
					x
					x
							2			4
							2			4
1				1							1	ln x2	x 1	17		2x 1
					ln(x2			1) 8arctgx							arctg			c .
					ln(x2			1) 8arctgx							arctg			c .
				2							2			3
	73			2							2			3			3

Задание 5. Найти неопределённый интеграл

3cos x 4sin x 1 .

Решение.

Используем универсальную тригонометрическую под-

становку tg

t :

t tg

, cos x

1 t 2

, sin x

1 t 2

3cos x 4sin x 1

x 2 arctg t, dx

2dt

1 t 2

2dt

t 2

8t 4

t 2

4t 2

d (t 2)

t 2 6

t 2 4t 2

(t 2)2 6

t 2


		x	2
		x
		tg		6
		tg		6
1	ln	2			c .
		x
2 6			2


		tg		6
		tg		6
		2

Задание 6. Найти неопределённый интеграл

																							dx										.

													2sin 2						x 5sin x cos x 2 cos 2 x
	Решение.
																				dx											tgx t,
																															tgx t,
																																			dt

						2sin 2						x 5sin x cos x 2 cos 2																x			dx

																																		t	2	1
				dt								1									dt

	2t 2 5t 2											2			t	2				5t		25				9
															t	2
																			2			16			16
																					t	5			3
																						5			3
1					dt									1 4															1			t 2
1					dt									1 4								4			4				1			t 2
																		ln									c			ln							c
2		(t			5	)	2			9				2		6		ln			t	5			3		c		3	ln		t			1		c
		(t				)															t											t
					4			16														4			4										2
				1					t 2								1				tgx 2
				1	ln				t 2			c					1	ln			tgx 2					c .
			3		ln			t			1	c				3		ln			tgx			1		c .
			3								1					3								1
										2													2

Задание 7. Найти неопределённый интеграл

23 x 8

x 8

Решение.

x 8 t 6 ,

6t 5 dt

t 3 dt

dx 6t

t 2

2 x 8

x 8

(t 3 8 8)dt

6 t

t 2

t 3

t 2 4t 8ln(t

x 8

3 x 8 46

x 8

8ln

x 8 2

c .

Задание 8. Вычислить определённый интеграл

2 arctg

dx .

4 x 2

Решение.

		3	x		2x			3	x
2	arctg					2	arctg

			2			dx			2		dx
	4		x	2			4 x			2
0						0

Каждый из интегралов находится с щей замены переменной:

2		2x
				dx. .
	4	x	2
0

помощью подходя-

t arctg

arctg

2dx

4 x 2

t x 2 4

2xdx,

0, t1 4,

4 x


1 4		3		1	t 4		/ 4	4
1 4		3		1	t 4		/ 4	4
	t		dt
	t		dt				0	.
2	0			2		4	0	2048
	0

ln t 84 ln 8 ln 4 ln 2 .

arctg 3 x 2x

4 x 2

Задание 9.

	4
dx	2048 ln 2.

Вычислить определённый интеграл


	2
	(x 2			x 1) cos 3xdx.
	0
	Решение.
	Используя формулу интегрирования по частям, получа-
ем:
											u x 2 x 1,									du (2x 1)dx,

2
(x 2 x 1) cos 3xdx											dv			cos 3xdx,							v			sin 3x
0											dv			cos 3xdx,							v			3
0

																			sin 3x 2x 1 dx
(x2		x 1) sin 3x										/ 2						2
(x2		x 1) sin 3x										/ 2						2

				3										0						3
				3										0				0		3
2					sin 3						1		2										u 2x 1,					du 2dx,
														2x 1 sin 3xdx
			1					2																						cos 3x
			1																											cos 3x
	4	2					3				3											dv sin 3xdx,						v
																						dv sin 3xdx,						v
													0																		3
																cos 3x 2x 1

			2					1			1													/ 2		2	2
																											cos 3xdx
																											cos 3xdx
		12 6 3 3																	3					0		3	0

	2																sin 3x				/ 2				2

						1			1	1					2														2		2
																																.
																																.
	12 6 3 9														9				3		0				12 6 9 27

Задание 10. Вычислить определенный интеграл

x 4 1 x 2 dx.

Решение.

											x sin t
											x sin t
											dx cos tdt
1											dx cos tdt											2
x 4				1 x 2 dx							x1	0, t1					0				sin 4				t 1 sin 2				t cos t dt
0																						0
											x2	1, t2
											x2	1, t2							2
																			2

	2				4			2				1		2			2			1 cos2t								1	2
sin							t cos		t dt				sin					2t								dt			1 cos 4t dt
sin							t cos		t dt				sin					2t								dt			1 cos 4t dt
	0											4		0								2					16		0

	1	2										1			/ 2					1				/ 2			1	2	sin 2 2t d sin 2t
	1											1			/ 2					1				/ 2			1

			sin 2				2t cos 2tdt							t								sin 4t
	8	0										16					0			4					0		16 0
	8	0										16					0			4					0		16 0
						sin 3 2t				/ 2						0							.
	32						48			0			32			0				32			.
	32						48			0			32							32
				Задание 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиками функций:														y x 1 2 и y2											x 1 (рис. 1).
																				y
																						1
																							M2
														M1
														-1								0								x
														-1																x

Рис. 1

Решение.

Для нахождения площади фигуры требуется описать фигуру как вариант усеченной криволинейной трапеции. Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых, которые укажут границы отрезка интегрирования.


	Имеем:
x 1 2					, x 1 4 x 1 0 , x 1 x 1 3 1 0 ,
x 1 2				x 1	, x 1 4 x 1 0 , x 1 x 1 3 1 0 ,
		x 1 x3 3x2 3x 0 , x 1 x x2 3x 3 0 .
	Корнями данного уравнения являются числа											x1 1 и
x2 0 .
	Вычислим площадь, используя формулу
					b
					S y2 x		y1	x dx.
					а
	Имеем:
0	3							3
0	3							3
S			x 1 2 dx x 1 2				0		x 1	0	2		1		1	.
		x 1							x 1		2		1		1
		x 1
1						3	1	3		1	3	3		3
	2

Задание 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, уравнение которой задано в полярной системе коор-

динат: 4cos 2 .

Решение.

Найдем пределы интегрирования из условия cos 2 0 .

Тогда		2k 2		2k	или		k		k .
	2		2			4		4

Для фигуры, называемой лемнискатой Бернулли (рис.2), раз-

решенными оказываются отрезки					,		при k 0 и
решенными оказываются отрезки					,		при k 0 и
				4		4
3	,	5	при k 1 .
	,		при k 1 .

4		4
			28

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022659.55 Кб2Учебное пособие 800150.pdf
#
01.05.2022668.83 Кб2Учебное пособие 800151.pdf
#
01.05.2022670.82 Кб2Учебное пособие 800152.pdf
#
01.05.2022678.4 Кб1Учебное пособие 800153.pdf
#
01.05.2022681.99 Кб7Учебное пособие 800154.pdf
#
01.05.2022683.49 Кб1Учебное пособие 800155.pdf
#
01.05.2022688.45 Кб1Учебное пособие 800156.pdf
#
01.05.2022689.16 Кб6Учебное пособие 800157.pdf
#
01.05.2022692.37 Кб1Учебное пособие 800158.pdf
#
01.05.2022696.41 Кб2Учебное пособие 800159.pdf
#
01.05.2022257.92 Кб5Учебное пособие 80016.pdf