Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется выполнить проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4.4) проектный расчет проводится по соотношению

.

Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки(то есть наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

а

рис.4.7

б

Рис. 4.7 (продолжение)

1. Определение реакций опор

Поскольку балка консольная, нет необходимости определять реакции в опоре, так как эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно построить, двигаясь от свободного конца балки.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем балку на два участка (см. рис. 4.7 а). Границами участков являются сечения А, В, С. Положения произвольных поперечных сечений на участках характеризуются координатами и . Записываем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Участок 1:

, , .

Здесь значение интенсивности распределенной нагрузки в сечении с координатой . Величину определим из подобия треугольников:

, откуда .

Подставив выражение в зависимости для и на первом участке, получим

, .

Следовательно, поперечная сила меняется по квадратичной параболе, а изгибающий момент – по кубической. Для построения эпюр и необходимо определить их значения как минимум в трех точках. Определим их на границах участка и посередине:

., ; кНм .

, кН;

кНм;

, кН;

кНм;

Участок 2. ,

кН;

.

- линейная функция . Для построения эпюры определим значения изгибающего момента на границах участка:

, кНм;

,

Строим эпюры и (см. рис. 4.7 а). В сечении, где , на эпюре должна быть вершина параболы. Используя дифференциальные зависимости (4.3) и следствия из них, производим проверку правильности построения этих эпюр. Изгибающий момент в опасном сечении кНм.

3. Подбор размеров сечения.

Подбор сечения балки ведем из условия прочности (4.4). В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

; см³.

Из таблиц сортамента (ГОСТ 8239-89) по рассчитанному значению выбираем двутавр №18, для которого

= 143см³, F = 23,4 см².

Для сечения, состоящего из одного двутавра, коэффициент экономичности

Если сечение состоит из двух двутавров, то расчетный осевой момент сопротивления для одного двутавра

см³.

Из таблиц сортамента выбираем двутавр № 12, для которого см³, см². Коэффициент экономичности для составного сечения

Перегрузка составляет

Таким образом, <5%, что допустимо.

Так как > , то рациональным является сечение, состоящее из одного двутавра.

З а м е ч а н и е. В случае, когда нагружение балки линейно распределенной нагрузкой происходит, как показано на рис. 4.8, можно предварительно определить реакции опоры и (см. рис. 4.8 а) и рассмотреть левую отсеченную часть. Слагаемые в поперечной силе и изгибающем моменте от распределенной нагрузки в этом случае записываются также, как и в предыдущей схеме.

При рассмотрении же правой отсеченной части (см. рис. 4.8 б) можно дополнить приложенную к балке нагрузку до равномерно распределенной и приложить линейно распределенную нагрузку противоположного знака.

а.)

б

Рис. 4.8