Задачи для самостоятельного решения

Электродвижущая сила индукции

1. Прямой провод длиной l=10см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=1Тл. Концы его замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать провод перпендикулярно линиям индукции со скоростью v=20м/с ?

Ответ: Р=10Вт

2. К источнику тока с ЭДС и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенных горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние l между стержнями равно 20см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция В=1,5Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью v=1м/с прямолинейный провод сопротивлением R=0,02Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить:

1) ЭДС индукции ; 2) силу F, действующую на провод со стороны поля; 3) силу тока I в цепи; 4) мощность , расходуемую на движение провода; 5) мощность , расходуемую на нагревание провода; 6) мощность , отдаваемую в цепь источника тока.

Ответ: ; ; ; ; ;

3. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,4Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l=10см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения .

Ответ:

4. Рамка площадью равномерно вращается с частотой относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,2 Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения?

Ответ:

5. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,35Тл равномерно с частотой вращается рамка, содержащая N=500 витков площадью . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции , возникающую в рамке.

Ответ:

6. Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюсного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет N=100 витков площадью . Определить частоту n вращения якоря, если максимальное значение ЭДС индукции .

Ответ: n = 600мин^-1

7. Короткая катушка, содержащая N=1000 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,04Тл с угловой скоростью относительно оси, совпадающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индукции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол с линиями индукции поля. Площадь S катушки равна 100 .

Ответ:

Количество электричества, протекающее в контуре при изменении магнитного потока

8. Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна линиям индукции. Катушка сопротивления имеет N=15 витков площадью . Сопротивление гальванометра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключили, по цепи гальванометра протекло количество электричества Q=90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромагнита.

Ответ: В=1,5Тл

9. Рамка из провода сопротивление R=0,01Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,05Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь S рамки равна

. Найти, какое количество электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол в следующих трех случаях: 1) от до ; 2) от до ; 3) от

Ответ: 1)

2)

3)

10. Тонкий медный провод массой m=1г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (B=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

Ответ: (D – плотность меди.)

11. На расстоянии =1м от длинного прямого провода с током I=1кА находится кольцо радиусом r=1см. Кольцо расположено так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить количество электричества Q, которое протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. Сопротивление R кольца 10Ом.

Указание. Поле в пределах кольца считать однородным.

Ответ:

12. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением R=0,02Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояние до которых от провода соответственно равны , . Найти силу тока I в проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричества Q=693 мкКл.

Ответ: кА

2. САМОИНДУКЦИЯ И ВЗАИМОИНДУКЦИЯ.

ИНДУКТИВНОСТЬ

Основные законы и формулы

• Электродвижущая сила самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нём

, или ,

где L – индуктивность контура.

• Потокосцепление контура ,

где L – индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)

Примеры решения задач

1. Используя условие задачи 6 главы 4 [4] рассчитать индуктивность данного тороида.

Решение

Магнитный поток через поперечное сечение тороида (см. решение задачи 6 главы 4 [4]).

Индуктивность его найдем следующим образом

, L=ψ/I=NΦ/I,

где L – индуктивность, - потокосцепление.

Таким образом, мГн.

2. Найти индуктивность L длинного соленоида. Число витков на единицу длины равно n, а длина соленоида l.

Решение

Магнитное поле внутри соленоида

где I – ток в обмотке соленоида.

Магнитный поток через все витки ,

где S – площадь поперечного сечения соленоида. С другой стороны .

Таким образом,

3. Найти индуктивность соленоида длины l, обмоткой которого является медная проволока массы m. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.

Решение

Используем, найденное в задаче 2, выражение индуктивности соленоида ,

где S – площадь поперечного сечения катушки, N – количество витков, r – радиус витка катушки.

Найдем длину медной проволоки навитой на катушку радиуса r

Таким образом,

Найдем соотношение между длинной проволоки и ее массой

где - плотность меди; - площадь сечения проволоки.

Выразим через известные параметры ,

где - удельное сопротивление меди. .

Таким образом,

и .

Подставим найденное значение в исходную формулу

4. Определить индуктивность L двухпроводной линии на участке длиной l. Радиус провода R. Расстояние между осевыми линиями d.

Решение

Магнитный поток через элементарную площадку шириной dr ( рис.2.1) равен

,

где и - индукции магнитного поля, создаваемые проводниками с токами и , соответственно. Полный поток . Из соображений симметрии и .

Индуктивность двухпроводной линии .

5. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и квадратной рамки со стороной а. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем центр рамки отстоит от провода на расстоянии .

Решение

Элементарный поток через узкую полоску рамки dx, отстоящую на расстоянии x от прямолинейного проводника

. Поток через всю рамку

Коэффициент взаимной индуктивности ,

где I – ток, текущий по прямолинейному проводнику.

6. Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус , внешний b. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна h. Число витков катушки N. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.

Решение

Как и в предыдущей задаче элементарный магнитный поток через элемент сечения тороида ,

где В – индукция поля, создаваемого прямолинейным провод-ником на расстоянии х, dS- элемент сечения тороида.

Поток через сечение тороида

Так как ,

где I – ток в прямолинейном проводнике, то

7. На тороидальную катушку намотаны две вплотную прилегающие друг к другу системы обмоток с полными числами витков и . Считая радиус одного витка обмотки равным r и радиус тора – R(r R), найти коэффициент взаимной индукции катушки.

Решение

Магнитное поле, создаваемое одной катушкой внутри тора, равно ,

где - ток в обмотке первой катушки. Магнитный поток через все витки второй катушки ,

где S – площадь поперечного сечения тора.

Так как, с другой стороны, известно, что , то

коэффициент взаимоиндукции равен .

8. Две катушки, индуктивности которых равны и , соединены последовательно так, что их магнитные поля направлены в одну сторону; при этом индуктивность всей системы оказалась равной 11мГн. Найти индуктивность системы , если катушки переключить так, чтобы их поля были направлены навстречу друг другу. Взаимное расположение катушек при этом не меняется.

Решение

И ндуктивность системы определяется суммарным потоком сцепления. Первая катушка пронизывается собственным потоком и потоком , создаваемым второй катушкой. Вторая катушка пронизывается также собственным потоком и потоком , созданным первой катушкой. До переключения катушек их поля направлены в одну сторону (рис. 2.2а) и потоки складываются .

После переключения катушек (рис. 2.2б) суммарный поток

сцепления .

Знаки «минус» показывают, что поле первой катушки направлено навстречу собственному полю второй катушки. Тоже самое можно сказать и о потоке, созданном второй катушкой и пронизывающем первую.

Потоки и в данном случае равны друг другу, так как катушки соединены последовательно и, следовательно, обтекаются одинаковым током, т.е.

,

где - коэффициент взаимной индукции.

Собственные потоки могут быть выражены через индуктивности каждой из катушек

Подставляя полученные выражения в формулу для суммарных потоков, получим

Совместное решение этих уравнений даёт результат

.

9. Соленоид с индуктивностью и сопротивлением замыкают на источник ЭДС , внутреннее сопротивление которого ничтожно мало. Какое количество электричества пройдёт через соленоид за первые 5 секунд после замыкания?

Решение

При замыкании соленоида на ЭДС возникает переменный экстраток замыкания, вследствие явления самоиндукции. Элементарное количество электричества, которое пройдёт через соленоид за промежуток времени

.

Отсюда находим количество электричества

1 0. Резистор сопротивлением присоединён к верхним концам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии друг от друга (рис. 2.3). Стержни замкнуты медной перемычкой массой , которая без трения может скользить по ним. В окружающем пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное плоскости, в которой расположены стержни. Перемычку опустили, после чего она начала падать без нарушения электрического контакта. Пренебрегая сопротивлением стержней и перемычки, найти установившуюся скорость последней. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной .

Решение

При падении перемычки площадь контура а растёт и магнитный поток сквозь него увеличивается. Согласно закону Фарадея, в контуре появляется ЭДС индукции, вызывающая индукционный ток. Следовательно, на перемычку кроме силы тяжести действует со стороны магнитного поля сила Ампера . Так как для всех элементов перемычки и , то

.

Согласно правилу Ленца, индукционный ток направлен против часовой стрелки и, сила направлена против силы . С ростом скорости падения перемычки увеличивается ЭДС индукции, сила тока , следовательно, сила Ампера . Скорость перестаёт возрастать, когда наступает равновесие между и , т.е.

По закону Ома для замкнутой цепи I=ε/R,

где ε – ЭДС, действующая в контуре abcd и равная сумме

.

Величина - ЭДС индукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока вектора . Абсолютное значение равно .

Величина - ЭДС самоиндукции. Она появляется при изменении сквозь контур магнитного потока , созданного индукционным током.

При определении необходимо учитывать, что индуктивность контура – величина переменная

,

где - длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому идёт ток. При движении перемычки, величины и возрастают.

Таким образом, ЭДС самоиндукции

.

Так как при установившейся скорости падения перемычки и , то

.

Величины и имеют в данном случае противоположные знаки, поскольку соответствующие им магнитные потоки и направлены согласно правилу Ленца, противоположно (при этом оба потока растут по абсолютной величине). Учитывая это, найдём

.

Подставив найденное значение , получим

,

.

Задачи для самостоятельного решения

1. По катушке индуктивностью L=0,03мГн течет ток

I=0,6А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время = 120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в контуре.

Ответ:

2. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на I=0,1А в 1с. Индуктивность L катушки равна 0,01Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции .

Ответ:

3 . Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой =50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции возникающую за интервал времени t, в течение которого ток в катуш­ке изменяется от минимального до максимального значения. Ампли­тудное значение силы тока =10 А.

Ответ:

4. Катушка сопротивлением =0,5Ом с индуктивностью L=4мГн соединена параллельно с проводом сопротивлением

=2,5Ом, по которому течет постоянный ток I=1А. Определить количество электри­чества Q, которое будет индуцировано в ка­тушке при размыкании цепи ключом К (рис. 2.4).

Ответ:

5. На картонный каркас длиной = 50 см и площадью S сечения, равной 4 см², намотан в один слой провод диаметром d=0,2мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.

Ответ:

6. Индуктивность L соленоида длиной =1 м, намотанного в одни слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сечения соленоида равна 20 см². Определить число п витков на каждом сантиметре длины соленоида.

Ответ:

7. Сколько витков проволоки диаметром =0,4мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D=2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью L=1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.

Ответ:

8. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический

каркас, имеет =750 витков и индуктивность L₁=25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L₂=36 мГн, обмотку с катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить чис­ло N₂ витков катушки после перемотки.

Ответ:

9. Соленоид содержит N=1000 витков. Площадь S сечения

сердечника равна 10 см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В=1,5 Тл. Найти среднюю ЭДС индукции , возникающей в соленоиде, если ток уменьшится до нуля за время t= 500 мкс.

Ответ:

10. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быст­ротой: = 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индук­ции =0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции ка­тушек.

Ответ:

11. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет

N₁=251 виток. Средний диаметр тороида равен 8 см, диаметр d витков равен 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имею­щая N₂= 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение t=1 мс устанавливается сила тока

I=3 А. Найти среднюю ЭДС индукции , возникающей на вторичной обмотке.

Ответ:

12. В цепи шел ток I₀=50А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока в этой цепи че­рез t=0,01с после отключения ее от источника тока. Сопротивле­ние R цепи равно 20Ом, ее индуктивность L=0,1Гн.

Ответ: I=6,75А.

13. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R=10Ом и индуктивностью L=1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения?

Ответ: t=0,23с

14. Цепь состоит из катушки индуктивностью L =1Гн и со­противления R=10 Ом. Источник тока можно отключать, не раз­рывая цепи. Определить время t, по истечении которого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения.

Ответ: t=0,69с