Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Глушко Е.Г., Дубровская А.П.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Занятия № 8-10. Многомерные случайные величины (случайные векторы).

Вектор , координаты которого есть случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называется случайным вектором, а функция называется функцией распределения

случайного вектора или двумерной случайной величины .

Если координаты вектора дискретные случайные величины, то называют дискретным случайным вектором.

Законом распределения дискретного случайного вектора называется перечень всех возможных значений пар компонент {(x_i,y_j)|(x_i,y_j) G(x,y)} и соответствующих каждой паре вероятностей p_ij=P(X=x_i,Y=у_j), удовлетворяющих условию где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i и j.

Закон распределения двумерного случайного вектора часто задается таблицей вида

X Y	x₁	x₂	…	x_i	…
y₁	p₁₁	p₂₁	…	p_i₁	…
y₂	p₁₂	p₂₂	…	p_i₂	…
…	…	…	…	…	…
y_j	p₁_j	p₂_j	…	p_ij
…	…	…	…	…	…

Зная закон распределения двумерного случайного вектора, можно получить закон распределения его компонент

, и ФР ,

где множество индексов U определяется следующим образом:

U={(i,j)|(X<x_i, Y<y_j)}.

Если функцию распределения вероятности вектора можно представить в виде , то случайную величину называют непрерывной двумерной случайной величиной, а – ее плотностью распределения вероятности.

Всюду в дальнейшем будем считать, что – непрерывная функция по обоим аргументам.

Свойства функции и плотности распределения вероятности

1) .

2) .

3) 0.

4) .

5) , , где и – функции распределения случайных величин и .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) , ,

где и – плотности распределения случайных величин и .

Условной плотностью распределения случайной величины при условии называют отношение плотности совместного распределения системы ( , ) к плотности распределения составляющей :

Аналогично определяют

Теорема умножения плотностей

Случайные величины и называются независимыми, если для любых чисел x,y случайные события и независимы.

Случайные события независимы, если выполняется любое из условий:

2) .

3) или .

Условным математическим ожиданием называют выражение

для дискретного случайного вектора

для непрерывного случайного вектора.

Величина называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и .

Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то

где .

Для дискретного случайного вектора

Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин и .

Если , то случайные величины и называются некоррелированными.

Свойства корреляционного момента и коэффициента

корреляции

1) .

2) Если и независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.

3) Если , то

4) .

5) .

6) .

7) .

Свойства математического ожидания и дисперсии

случайного вектора

1) , где – постоянная.

2) .

3) .

4) .

Если , то .

Случайная величина называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.

5) Если , .

6) , где С – постоянная.

7) .

8) .

Если , то .

9) . С – постоянная.

10) .

11) .

Двумерная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения

Здесь , , , ,

– коэффициент корреляции случайных величин и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.

Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения

Здесь – площадь области .

Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице

–1

0,2

0,1

0,3

0,1

0,2

Определить:

1) Законы распределения составляющих и ;

2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что ;

3) ;

4) Коэффициент корреляции .

Решение. Имеем

	–1	1
	0,6	0,4

	–1	0	2
	0,3	0,2	0,5

, ,

- ,

	–1	1
	₂_/3

Сравнивая (*) и (**), видим, что зависимые случайные величины:

;

₊ =

= .

Пример 2. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС, то есть

Найти постоянную , одномерные плотности , случайных величин и , коэффициент корреляции , условную плотность и условное математическое ожидание .

т. , т. , т. .

1) Постоянную найдем из условия нормировки

, ,

где – площадь треугольника . Обозначим область, ограниченную треугольником через . Тогда

2) Уравнение прямой . Тогда область можно задать аналитически следующим образом:

или .

4) .

Пример 3. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса . Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Плотность распределения вероятности

Пример 4. Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей

Известно, что . Найти .

Решение. Совместная нормальность пары случайных величин и обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина нормальна с параметрами

, .

Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы:

получим , , ,

По условию , откуда, используя нормальность ,

Искомые дисперсии равны, соответственно,

, .

Пример 5. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданий и корреляционную матрицу

. , .

Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектора и корреляционную матрицу вектора .

Решение. .

. .

Ответ: , .

Примеры для самостоятельного решения

1. Дискретные случайные величины и независимы и имеют распределения:

_У	4	5
	0,4	0,6

	2	3
	0,3	0,7

Найдите закон распределения случайной величины

и ее математическое ожидание.

2. Случайные величины и независимы и каждая имеет показательный закон распределения с плотностью распределения при и при . Найдите плотность вероятности суммы этих величин.

3. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины , если , , , , а случайные величины и независимы.

4. Случайные величины и независимы и обе равномерно распределены на отрезке [0, 2]. Найдите функцию плотности вероятности случайной величины .

5. Пусть и - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром . Найти распределение случайной величины .

6. Случайные величины и независимы и каждая равномерно распределена на (0, 1). Найдите плотность вероятности случайной величины .

7. Каждая из случайных величин и равномерно распределена в интервале . Полагая величины и независимыми, найдите функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию для каждой из величин и .

8. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей

0,2

0,05

0,3

0,15

0,1

0,2

Найдите: а) безусловные законы распределения величин и ; б) закон распределения при условии, что .

9. Равновозможны все положения случайной точки в треугольнике с вершинами и . Найти коэффициент корреляции случайных величин и . Найти линию регрессии на .