Динамика

Задача 5. В фрикционной передаче силовое замыкание между ведущим 1 и ведомым 2 шкивами обеспечивается пружинами 3. Какой момент должен быть приложен к ведущему валу при запуске и каково должно быть минимальное усилие поджатия пружин, если на ведомый вал действует момент сопротивления M₂ = 2,5 I0³ Н м? Массы шкивов m₁ = 25 кг, m₁ = 75 кг, радиус инерции ведущего шкива i = 0,35 d₁. Ведомый шкив считать однородным диском; угловое ускорение ведомого вала ₂ = 250 с^-2, коэффициент трения скольжения между шкивами f =0,3. Значения d₁, d₂, указаны на рис. 5, а.

Рис. 5

РЕШЕНИЕ. Для определения момента М₁ применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для рассматриваемой механической системы (тело 1 – тело 2).

. (1)

Вычислим кинетическую энергию механической системы:

,

где

С учетом последних соотношений и численных данных получим

(2)

Определим сумму работ всех внешних сил и моментов внешних сил, приложенных к механической системе и вызывающих вращения ведущего и ведомого валов:

. (3)

Подставим (2) и (3) в (I), получим:

,

откуда .

Для определения минимального усилия поджатия пружин расчленим систему в точке К и рассмотрим на основе принципа Даламбера уравновешенную систему сил, приложенных только к телу 1: активные силы , , ; – равнодействующая сил поджатия пружин; реакции отброшенного тела 2: ; момент даламберовых сил инерции (рис. 5, б).

Составим уравнение "равновесия" тела 1:

(4)

(5)

Из (4)

Из (5)

Отсюда

Задача 6. Маховик 1 (рис. 6, а) разгоняется до угловой скорости ₀. Затем с помощью пружины 2 вместе с валом переводится во фрикционное сцепление с ободом 4. При этом начинает разгоняться маховик 5. Определить, через какое время t^* оба маховика будут иметь одинаковую угловую скорость  и чему она будет равна. Даны моменты инерции J каждого маховика, коэффициент трения в фрикционной паре, усилие пружины Р.

Рис. 6

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим левую часть механизма из деталей 1, 2, 4. Из уравнения динамики вращательного движения твердого тела1 вокруг .неподвижной оси определим угловое ускорение  , вызванное фрикционным зацеплением, то есть силой трения.

где

Угловая скорость после сцепления 1 и 4 по истечении времени t будет

Рассмотрим сложение вращений вокруг пересекающихся под прямым углом осей шестерен (рис.6,6). Из параллелограмма угловых скоростей видно, что , или

Так как вначале маховик 5 покоился, то к моменту времени t его угловая скорость будет равна

Для искомого момента времени t_* , следовательно,

По закону сохранения момента количества движения для t=t₀ и t=t_* имеем

Искомая угловая скорость равна половине начальной.

Задача 7. Круглая кулачковая шайба 1 радиусом r вращается вокруг неподвижной оси О и сообщает поступательное движение линейке 2, жестко связанной со стержнем 3 и прижимаемой к шайбе пружиной 4. Составить дифференциальное уравнение движения механизма, предполагая, что пружина не напряжена в момент, когда линейка проходит через ось вращения шайбы, а реакция сжатой пружины пропорциональна ее сжатию. Весом и силами трения пренебречь. Вращающий момент , приложенный к шайбе, считать известным (рис. 7).

Рис. 7

РЕШЕНИЕ. Положение шайбы определим углом , составленным диаметром, проходящим через ось вращения, с отрицательным направлением оси y. Тогда . Скорости линейки и стержня 3 равны проекции на ось у скорости точки А шайбы, в которой в данный момент происходит соприкосновение с линейкой (см. решение задачи № 19 в разделе КИНЕМАТИКА).

Кинетическая энергия механизма (массой пружины пренебрегаем) равна

– момент инерции шайбы относительно оси вращения; m – масса поступательно движущихся частей.

Потенциальная энергия сжатой пружины равна

Обобщенная сила равна

Используем уравнение Лагранжа второго рода

Вычислив необходимые производные, получим из этого уравнения дифференциальные уравнения движения механизма: