1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом

Решим в качестве примера следующую задачу. Упругий цилиндрический стержень, имеющий в нерастянутом (естественном) состоянии длину l, закрепляется в конце х = 0 и затем растягивается за конец х = 1 до длины l₁; после этого конец х =l отпускается, вследствие чего в стержне образуются продольные колебания. Требуется определить скорость колебания произвольного сечения возмущенного стержня. Определим функции f (х) и F(x), входящие в начальные условия, считая, что в начальный момент времени смещение сечения с абсциссой х пропорционально этой абсциссе. Положим

где r—множитель пропорциональности, который легко определяется, если принять во внимание то обстоятельство, что в начальный момент времени смещение на конце х = l стержня равно l₁—l, т. е. T=0, l₁—l=rl или r=(l₁—l)/l . Кроме того, так как скорости всех промежуточных сечений стержня в начальный момент времени равны нулю, то

Мы знаем, что общее решение уравнения имеет вид

Определим функции φ и ψ так, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям и начальным условиям . Из первого граничного условия следует, что или ψ(z)= -φ(z) (z=at ), вследствие чего формула принимает вид

Дифференцируя это равенство по х и полагая затем х = l, приходим, в силу второго из граничных условий, к следующему результату: или, обозначая переменный аргумент at-l через z, получим равенство с помощью которого легко найти выражение функции для всех значений z. В самом деле, в силу начальных условий имеем (0<x<l)

. Дифференцируя равенство по х и решая полученное уравнение совместно с уравнением , найдем следующее выражение функции φ(z)= , справедливое для всех значений z, лежащих в интервале -l<z<l. Тогда φ(z)= для всех значений z, удовлетворяющих l<z<3l. Теперь остается заметить, что функция φ(z) имеет период 4l и тогда ясно, что функция φ(z) определяется при всех значениях z. Воспользуемся найденными результатами, чтобы представить себе картину распространения волн в возмущенном стержне. Обозначим через υ скорость поперечного сечения стержня с абсциссой х; эта скорость находится на основании формулы, в силу которой

С помощью этой формулы нетрудно разобраться, какие волны подходят в определенные моменты времени к сечению Р с абсциссой х. В самом деле, так как эта абсцисса лежит внутри интервала (-l, l), то, начиная с момента t = 0 до момента времени t = , оба аргумента функций, входящих в правую часть

формулы, не будут выходить за пределы интервала (-l, l).

Отсюда, вытекает, что

другими словами, в течение времени t = , считая от момента начала колебаний, сечение Р остается в покое. Оно начнет колебаться с момента t = , когда к нему подойдет обратная волна, вышедшая в начальный момент времени из возмущенного конца х=l. Определим скорость сечения Р. Когда время изменяется от момента t = до момента t = , аргумент функции φ(at-x)изменяется в интервалaе (—l, l), а аргумент функции φ(at+x)— в интервале (l, 3l). Далее получим, что в течение времени

сечение Р будет обладать скоростью, определяемой равенством

а теперь, что будет происходить в стержне с момента времени t = . К этому моменту к сечению Р подойдет прямая волна, которая произошла от обратной волны, отразившейся в момент t = от закрепленного конца x = 0.

Нетрудно показать, что с момента времени t = до момента t = сечение Р будет находиться в состоянии покоя. В самом деле, в течение указанного времени оба аргумента функций лежат внутри интервала (l, 3l); вследствие этого вытекает, что а момент времени t = к сечению Р снова подойдет обратная волна, которая получилась от прямой волны, после того как последняя отразилась от свободного конца х = l в момент t = . Эта волна будет оказывать свое действие на сечение Р до момента времени t = . Действительно, когда t изменяется в пределах от до , аргумент функции φ (at—х) не выходит из интервала (l, 3l), а аргумент функции φ (at+х) — из интервала (3l, 5l), вследствие чего

Теперь остается лишь исследовать промежуток времени от t = до t= . В течение этого времени сечение Р снова придет в состояние покоя. Действительно, в момент времени t = к этому сечению подойдет прямая волна, образовавшаяся из обратной волны, после того как последняя отразилась от закрепленного конца в момент времени t = . Действие этой волны на сечение Р скажется следующим образом. Так как при t, изменяющемся в промежутке

( , ) , обе функции имеют свои аргументы в интервале (3l, 5l), то откуда ясно, что в течение времени t = сечение Р будет находиться в состоянии покоя. Далее вся картина распространения волн будет повторяться, так как функция φ(z) имеет период 4l.