6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости

Пусть область D на плоскости xy ограничена

кусочно-гладким контуром С (рис. 6.1). Требуется найти функцию имеющую во внутренних точках области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно, удовлетворяющую в области D дифференциальному уравнению

Рис. 6.1.

И граничному условию где непрерывная функция, заданная в точках контура С.

Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. Пусть задано некоторое h>0. Проводятся прямые x=x_i, y=y_k строится контур C_h максимально приближенное к контуру С, через D_h ,обозначается область, состоящая из узловых точек (x_i, y_k),лежащих внутри контура С_h. Частные производные, входящие в уравнение , в точках (x_i, y_k) заменяются по формулам

После такой замены наше уравнение принимает вид

Значение функции в точках принимаются равными значениями функции в точках ближайшим к точкам Таким образом, исходная задача Дирихле сводится к следующей: найти значение функции в точках области D_h,удовлетворяющей системе линейных уравнений имеет единственное решение. Для решения этой системы применяется метод итераций или метод Зейделя.

Метод итераций решения системы заключается в следующем: начальное приближение выбирается произвольным, например, можно во всех точках положить

где - наименьшее и наибольшее значения функции в узловых точках контура . Последующие приближения вычисляются по формулам

где j= 0,1,2,… .Вычисления ведутся до тех пор, пока неравенство

в формуле используются уже вычисленные то есть

Как правило, метод Зейделя дает более быструю сходимость. Для получения более точного решения все вычисления повторяются при h=h/2. Дробление шага проводится до тех пор, пока значения не будет отличаться от вычисленных на предыдущем этапе менее заданного .

6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа

Пусть отрезок ограничен на оси х точками Требуется найти непрерывную в области функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению

со следующими начальными

граничными условиями

Рис. 6.2.

Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. В области D (рис. 6.2) проведем два семейства прямых для некоторых заданных и рассмотрим всевозможные точки попарных пересечений, то есть точки вида Эти точки образуют точки, являясь её узлами. У каждого узла имеются четыре соседних точки Если все эти соседние точки также принадлежат сетке, то узел называется внутренним, в противном случае узел называется гармоничным. Совокупность внутренних узлов образует множество Очевидно, что точка принадлежит , если Значение искомой функции в узлах сетки называется сеточной функцией , приближенные значения которой мы и будем в дальнейшем находить.

Для получения разностного уравнения заменим частные производные второго порядка разностными отношениями:

Частную производную по времени, входящую в начальное условие, заменим центральной разностью для обеспечения второго порядка аппроксимации

После такой замены получим искомую разностную схему, которая представляет собой следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Удобно поставить в соответствие построенному разностному оператору «шаблон»- геометрическую картинку расположения узлов сетки, значения в которых связывает разностный оператор при некоторых фиксированных i и k. Для ревностного оператора нашей задачи шаблон изображен на рис. 6.3.

Рис. 6.3.

Для дальнейшего рассмотрения введем понятие слоя. Под слоем разностной схемы понимается совокупность точек сетки , лежащих на некоторой горизонтальной (или вертикальной) прямой. Если значения сеточной функции заданные на ом слое, выражаются в явном виде через значения этой же функции на слоях с меньшими номерами, то такая схема называется явной. В противном случае схема называется неявной. Полученная нами разностная схема является явной, и может быть записана следующим образом:

Для аппроксимации начального условия, заданного центральным разностным отношением, привлечем узлы горизонтального слоя, соответствующего . Промежуточные значения исключим, используя разностное уравнение при

В итоге получим следующую систему уравнений, решая которую относительно неизвестных находим сеточную функцию , значения которой в узлах сетки приближенно заменяют значения искомого решения исходного уравнения гиперболического типа

С целью обеспечения устойчивости полученной разностной схемы значений шагов по времени и координате должны быть связаны соотношением Для получения более точного решения следует проводить дробление шага в соответствии со сказанным в описании решения уравнения эллиптического типа.