1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.

В полярной системе координат задача формулируется следующим образом. Найти функцию , удовлетворяющую при r<R дифференциальному уравнению

и условию

Найдем сначала частные решения уравнения в виде – ненулевые функции, удовлетворяющие условиям: X(0) ограничено,

подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение , получим

Отсюда следует, что

Уравнение для Y(φ) имеет решения, удовлетворяющие условию только при , и эти решения имеют вид

имеет два решения линейно независимых решения . Второе решение не ограничено в точке r=0. Поэтому полагаем Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений:

Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

коэффициенты которого находятся таким образом, чтобы функция удовлетворяла граничному условию . Полагая в (3.42) r=R получим

Отсюда следует, что коэффициентами Фурье для функции на отрезке [0,2π]. Поэтому

Подставляя значения

Обозначим и найдем сумму ряда, стоящего в квадратных скобках формулы . Имеем

Ряды

со знаменателями

ряды

получим

Таким образом, решение нашей задачи имеет вид

Получили другим способом решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла Пуассона.

1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)

Пусть требуется найти функцию u(x,y,z), гармоничную в шаре и принимающую заданные значения В сферической системе координат задача заключается в следующем. Найти функцию удовлетворяющую при

и граничному условию

Метод Фурье решения этой задачи заключается в следующем: сначала ищутся частные решения основного уравнения в виде где функция ограничена в точке , функция ограничена по переменной и перидична по переменной с периодом . Функции являются собственными функциями отвечающими собственным значениям этими функциями являются сферические функциями.

Функции являются решениями уравнения (при

ограниченными в точке . Частные решения этого уравнения будем искать в виде Для определения k получаем которое имеет решения Следовательно, это уравнение имеет два линейно независимых решения . Второе решение не ограничено при , но ограничено при , поэтому оно используется для решения внешней задачи Дирихле для шара. Для решения внутренней задачи Дирихле для шара. Для решения внутренней задачи

Дирихле выбираем Таким образом, мы получили бесконечное число частных решений уравнения

где n=0,1,2,.. Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

Коэффициенты этого ряда определяются так, чтобы выполнялось граничное условие . Полагая в решении

Отсюда следует, что

Рассмотрим отдельно случай, когда решение задачи Дирихле для шара не зависит от переменной , то есть решение обладает осевой симметрией. В этом случае функция

является решением уравнения

и удовлетворяет граничному условию

Частные решения нашего уравнения будут вида

Первое уравнение с помощью замены переменной приводится к уравнению Лежандра

Поэтому уравнение имеет решения, ограниченные в точках только при , и этими решениями являются функции - многочлен Лежандра n-ого порядка. Второе уравнение при имеет решение ограниченное в точке . Следовательно, частные решения уравнения , ограниченные при , имеют вид

Дирихле в этом случае находится в виде ряда

Коэффициенты этого ряда находятся так, чтобы выполнялось граничное условие . Полагая в равенстве , получим

Эллиптические уравнения

К этому типу относятся уравнения тепловодности

для стационарного случая

где искомая функция .есть стационарное распределение температуры однородного тела в точке , не зависящей от времени . Наше уравнение есть уравнение Лапласа, которое записывается еще в виде (через оператор Лапласа ). Для задач относящимся к плоским фигурам, уравнение Лапласа имеет вид . Будем рассматривать задачу Дирихле, т.е. задачу отыскания гармонической в области D функции U(M)=U(x,y), удовлетворяющей уравнению Лапласа, непрерывной в области, включая границу этой области , и удовлетворяющей краевому условию , где - заданная непрерывная на поверхности S функция. Функция называется гармонической в области D , если в этой точке она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Например, для любой плоской области, удовлетворяющей уравнению , гармонической функцией будет функция (или ), где , точки .