1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина

Наряду с регулярными решениями уравнений эллиптического типа важную роль играют так называемые фундаментальные решения.

Фундаментальным решением уравнения: называют функцию Леви , которая при удовлетворяет этому уравнению по координатам одной из точек (х или ) и зависит от координат другой точки, как от параметров. Будем писать или в зависимости от того, рассматриваем ли мы как переменные, по которым производится дифференцирование, координаты точки или х. Выражения и

будем понимать как и .

Рассмотрим задачу Дирихле:

когда

где — непрерывные функции.

Предположим, что как решение u(х) этой задачи , так и функция Леви дифференциального выражения непрерывны в замкнутой области V вместе со своими первыми производными. Применив к функции u(х) формулу Грина — Стокса, получим

Если существует фундаментальное решение однородной задачи:

сопряженной задаче Дирихле , и если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то мы можем положить .

При этом формула для u(x) примет вид

Таким образом, если существует решение задачи Дирихле и фундаментальное решение однородной сопряженной задачи, причем в области V эти решения непрерывны вместе со своими частными производными по координатам точки , то решение задачи можно заменить отысканием фундаментального решения однородной сопряженной задачи, после чего решение задачи определится вышеприведенной формулой . Эта идея лежит в основе способа Грина решения задач Дирихле. Фундаментальное решение однородной задачи называют функцией Грина задачи Дирихле. Аналогичным путем вводится функция Грина для задачи Неймана. Рассмотрим задачу:

когда

Предположив, что u(х) —решение этой задачи, непрерывное в замкнутой области V со своими производными первого порядка, применим формулу Грина—Стокса, что даст:

Пусть — фундаментальное решение однородной задачи

сопряженной задаче . Если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то, положив = ,получим:

Таким образом, если функция каким-либо образом найдена и удовлетворяет необходимым требованиям гладкости, то решение задачи , непрерывное вместе со своими первыми производными в замкнутой области V, может быть найдено с помощью вышеприведенной формулы . Фундаментальное решение задачи называют функцией Грина задачи . Употребительны также названия вторая функция Грина и характеристическая функция Неймана. Рассмотрим две взаимно сопряженные граничные задачи и предположим, что их функции Грина и существуют. По определению:

или

Первое граничное условие выполняется для задач Дирихле, второе — для задач Неймана. Предположим далее, что функции и имеют производные первого порядка по координатам точки непрерывные в области V — х. Тогда, фиксировав две точки мы можем применить формулу Грина к функциям и в области , где и —эллипсоидальные окрестности точек и . Отсюда получим

Перейдем к пределу при . Заметив, что в силу соображений, высказанных при выводе формулы Грина—Стокса , справедливы следующие соотношения:

получим формулу связывающую функции Грина сопряженных граничных задач. В частности, если дифференциальное выражение самосопряженное, то , и из вышеприведенной формулы следует, что при этом

Таким образом, если для самосопряженной граничной задачи, поставленной в области , существует функция Грина , непрерывная в области вместе со своими первыми производными, то эта функция симметрична относительно точек и х.

Теоремы единственности

Положив в формуле Грина и ,после несложных выкладок придем к соотношению:

Пусть и —два решения задачи Дирихле:

когда

удовлетворяющие требованиям, при которых справедлива формула Грина. Разность этих решений явится решением однородной задачи Дирихле:

когда

удовлетворяющей тем же требованиям. Далее получим:

Левая часть этого соотношения неотрицательна в силу неравенства

Если

,

то правая часть неположительна. Ввиду непрерывности функции и нулевого граничного условия отсюда следует, что в области V функция =0, т. е. . Таким образом, задача Дирихле при соблюдении нашего условия имеет не более одного решения, непрерывного в области вместе со своими производными первого порядка. Проводя доказательство этой теоремы единственности другим путем, можно показать, что требование непрерывности производных решения в замкнутой области V является излишним, достаточно требовать непрерывности самого решения.

Рассмотрим задачу Неймана:

когда

Предположим, что — два решения задачи, удовлетворяющие требованиям, при которых к ним может быть применена формула Грина. Разность явится решением однородной задачи: когда

Применив к разности вышеприведенную формулу, получим

Если

то, как легко видеть из этого интегрального соотношения, должно быть

в силу чего наша задача примет вид: когда

Отсюда следует, что если при выполнении полученых выше неравенств хотя бы одна из функций g и с неравна нулю тождественно, то = 0. В силу непрерывности функции , также следует, что = 0, если хотя бы одно из неравенств является точным. Если же ни одно из этих дополнительных условий не имеет места, то из соотношений вытекает, что = const. Таким образом, задача Неймана при и выполнении полученых условий имеет не более одного решения, непрерывного в области V вместе со своими производными 1-го порядка. При g = 0 решения задачи Неймана не могут отличаться более, чем на постоянное слагаемое. Если хотя бы одно из неравенств является точным, либо функция с отлична от тождественного нуля, то эта постоянная равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Показать, что если задача Дирихле имеет не более одного решения, допускающего применение формулы Грина, то и сопряженная ей задача имеет не более одного такого решения.

2. Показать, что самосопряженная задача Дирихле имеет не более одного решения, допускающего применение формулы Грина, если , а самосопряженная задача Неймана, если, кроме того, g > 0.