Геометрические приложения двойных интегралов
1.
Площадь
области
на плоскости
выражается формулой
2.
Объем
тела
,
где
непрерывная
неотрицательная в области
функция,
выражается формулой
3.
Площадь поверхности, заданной явно
уравнением
,
вычисляется с помощью двойного интеграла
вида:
Физические приложения двойных интегралов
Пусть - материальная бесконечно тонкая пластинка с плотностью . Тогда справедливы следующие формулы:
1.
- масса пластинки;
2.
-
статические моменты пластинки относительно
осей
3.
-
координаты центра тяжести пластинки;
4.
-
моменты инерции пластинки относительно
осей
5.
-
момент инерции пластинки относительно
начала координат.
Пример.
Найти объем тела
,
ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело можно представить в виде
(рис.16), где
-
область на плоскости
,
ограниченная кривыми
,
то есть
.
Переходя от двойного интеграла к
повторному, получим
Пример.
Найти моменты инерции
относительно осей
пластины с плотностью
ограниченной кривыми
и
прямыми
,
расположенной в первом квадранте
(рис.17).
Решение.
.
Чтобы свести каждый из этих интегралов
к повторному в декартовых координатах,
нужно область
разбить на три части. Поэтому удобнее
перейти к полярным координатам:
.
Тогда
изменяется от
до
,
а при каждом значении
переменная
изменяется от
(значение
на
кривой
,
уравнение которой в полярных координатах
в I
квадранте имеет вид
)
до
(значение
на кривой
Следовательно,
Аналогично
получаем
Задачи для самостоятельного решения
1. Привести двойной интеграл к повторному двумя способами, если:
а)
-
область, ограниченная кривыми
б)
-
круг
в) - треугольник со сторонами, лежащими на прямых
г)
-
кольцо
д)
-
область, ограниченная кривыми
;
е)
-
область, лежащая вне окружности и внутри
кривой
.
2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
3. Вычислить двойные интегралы:
а)
б)
в)
где
г)
где
д)
где
е)
где
-
область, ограниченная кривыми
;
ж) где - область, ограниченная кривой
з)
где
-
область, ограниченная кривыми
4. В следующих интегралах перейти к полярным координатам
а)
б)
в)
.
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
а)
б)
в)
6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
Ответ:
а)
б)
в)
7.
Найти координаты центра тяжести круглой
пластинки
если ее плотность в точке
пропорциональна расстоянию от точки
до точки
Ответ:
8.
Найти моменты инерции
и
относительно осей
и
однородной пластинки с плотностью
,
ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
г)
Ответ:
а)
б)
в)
г)
9.
Найти моменты инерции
и
относительно осей
и
однородной пластинки с плотностью
,
ограниченной кривыми:
а)
б)
Ответ:
а)
б)
10.
Шар радиуса
погружен в жидкость постоянной плотности
,
причем центр шара находится на расстоянии
от уровня жидкости и
.
Найти силы давления
и
на верхнюю и нижнюю полусферы этого
шара.
Ответ:
11.
Доказать, что если в плоскости, где
расположена пластинка
массы
,
взяты две параллельные оси
и
на расстоянии
друг от друга, причем первая из них
проходит через центр тяжести пластинки
,
то моменты инерции пластинки
относительно этих осей связаны
соотношением
Ответ: Взяв ось в качестве оси абсцисс, получаем
Так
как, по условию
,
то приходим к равенству