4. Наращение сложными процентами

Для пояснения принципиальной разницы между простыми и сложными процентами рассмотрим такую ситуацию. Клиент положил в банк на несколько лет сумму, равную Р, под простые проценты по ставке r, причем счет можно закрыть в любое время, и происходит ежегодное начисление процентов. Если клиент через два года закроет счет, то он получит на руки F₂ = Р (1 + 2r).

Но он может поступить и таким образом: через год закрыть счет, получив сумму Р (1 + r), а затем положить эту сумму еще на год, осуществив тем самым операцию реинвестирования. Такое действие позволит ему в конце второго года получить

F₂' = Р (1 +r)(1 + r) = Р (1 + r)² = Р (1 + 2r + r²) = F₂ + Р∙r².

Величина больше F₂ на величину Р∙r² = (Р∙r)∙r, которая представляет собой проценты, начисленные на проценты Р∙r, полученные за первый год. Еще значительнее будет разница между суммой, полученной через три года при закрытии счета, и суммой, полученной в результате переоформления счета каждый год.

Ясно, что клиенту выгодно ежегодное переоформление счета. Поэтому с целью предотвращения такого рода действий и поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике применяют сложные проценты.

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала Р (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов к их базе, и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Таким образом, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: = Р + Рr = Р (1 + r);

к концу второго года: F₂ = F + F ∙r = F (1 + r) = Р (1 + r) ;

к концу n-го года:

F_n = P(1+r)ⁿ. (4.1)

Равенство (4.1) называется формулой наращения по сложным процентам или формулой наращения сложными процентами; множитель (1+r) ‑ множителем наращения сложных процентов или мультиплицирующим множителем; (1 + r) ‑ коэффициентом наращения или сложным декурсивным коэффициентом.

Из формулы (4.1) видно, что множитель наращения равен индексу роста суммы Р за n лет. Очевидно, последовательность F , F₂, ..., F_n представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + r).

Пример

Депозит в 200 тыс. р. положен в банк на 4 года по 15 % годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Применяя формулу (4.1), получим

F₄ = 200(1 + 0,15)⁴ = 349,801 тыс. р.

При наращении по сложным процентам финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки. Пусть , , ..., - следующие друг за другом периоды и на период установлена процентная ставка . Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время (считая, что все периоды и, следовательно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле

. (4.2)

Естественно, формулой (4.2) можно пользоваться и в тех случаях, когда периоды выражены в различных единицах времени. Необходимо только, чтобы размерность каждого периода была согласована с размерностью процентной ставки i_k.

Пример

Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. р. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7 %. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

Так как Р = 25 тыс. р., = 1 год, n₂ = 2 года, = 3 года,

= 0,1; i₂ = 0,104; i₃ = 0,107, то по формуле (4.2)

F₆ = 25(1 + 0,1)(1 + 0,104)²(1 + 0,107)³ = 45,469 тыс. р.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

- по схеме сложных процентов:

F_n=P (4.3)

- по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов ‑ для дробной части года):

F_n=P (4.4)

где w = [n] ‑ целое число лет (квадратной скобкой обозначена целая часть числа);

f ‑ дробная часть года (f = n - [g]); n = w + f.

Очевидно, что при f = 0 формулы (4.3) и (4.4) совпадают между собой и с формулой (4.1).

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. р. на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

В данном случае n = 2,5; w = 2; f = 0,5.

По формуле (4.3):

= 10(1 + 0,3 =19,269 тыс. р.

По формуле (4.4):

= 10(1 + 0,3)²(1 + 0,5∙0,3) = 19,435 тыс. р.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.