Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и график.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ

Многочленами ньютона

Задание. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значение функции при значении аргумента х = 10 х*, где х* взято из таблицы исходных данных к лабораторной работе № 7. Значения х_i и у_i

взять из таблицы исходных данных к лабораторной работе №5.

Краткое описание метода. Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений (х_i, у_i), причем х₀ <x₁ <...<х_n и расстояние h=x_i-x_i-1между соседними узлами таблицы значений аргумента постоянно. В этом случае величину h называют шагом таблицы, а узлы - равноотстоящими.

Величину принято называть конечной разностью первого порядка функции y=f(x) в точке х_i ( с шагом h). Конечная разность второго порядка определяется формулой . Аналогично определяются конечные разности третьего и более высокого порядков. Общее определение конечной разности порядка k таково:

Здесь k и .

Таблицу конечных разностей (которые называют еще конечными разностями вперед) обычно располагают следующим образом:

Можно показать, что конечные разности порядка к выражаются через значения функции в k +1 точке по формуле

Приведем без доказательства важное утверждение, указывающее на тесную связь между производными гладких функций и их конечными разностями.

Теорема. 8.1. Пусть функция y=f(x) дифференцируема к раз на отрезке [х_i, х_i+k]. Тогда справедливо равенство (8.1)

в котором - некоторая точка из интервала (х_i х_i+k).

Замечание. При k=1 формула (8.1) совпадает с формулой конечных приращений Лагранжа.

Следствие. Для многочлена конечная разность порядка п является постоянной величиной, равной hⁿn!a_n. Разности порядка k>п тождественно равны нулю.

Пусть функция f задана на таблице х₀, х₁, ..., х_п значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным) шагом, причем точки таблицы занумерованы в произвольном (не обязательно возрастающем) порядке. Величины

принято называть разделенными разностями первого порядка функции f. Разделенные разности второго порядка определяются формулой

.

Аналогично определяются разделенные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделенной разности порядка k 2 таково:

Таблицу разделенных разностей обычно располагают следующим образом:

Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них.

1. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов х_i х_i+1,… х_i+k (т.е. ее значение не меняется при любой их перестановке).

2. Пусть функция f имеет на отрезке [а,b], содержащем точки х_i; х_i+1;...; х_i+k, производную порядка k. Тогда справедливо равенство

(8.2)

где - некоторая точка, расположенная на интервале (a,b).

3. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг h, разделенная и конечная разности связаны равенством

Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен можно записать в следующем виде:

Здесь ₀(х) = 1, . Записанный в таком виде интерполяционный многочлен называют интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Замечание 1. Отметим очевидную (с учетом равенства (8.2)) аналогию между формулой Ньютона (8.4) и формулой Тейлора.

Замечание 2. Формулу (7.6) для погрешности интерпо­ляции в точке х, не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом: (8.5)

В практическом плане формула (8.4) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел х_п+]. При использовании формулы Лагранжа это приводит не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления

Р_п+1 (х) по формуле Ньютона достаточно добавить к Р_п(х) лишь одно очередное слагаемое, так как

Р_п+1 (х)-Р_n(х) = f (х₀; ...;х_п; х_п+1) _п+1 (х) (8.6)

Заметим, что в случае, когда величина |х_n+1 -х| мала, а функция f достаточно гладкая, справедливо приближенное равенство _, из которого с учетом равенств (8.5) и (8.6) следует, что . Таким образом, величину можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции. Пусть интерполируемая функция задана таблицей своих значений с постоянным шагом h=x_i+1-x_i . В этом случае, используя формулу (8.3) связи между разделенными и конечными разностями и вводя безразмерную переменную t = (х-х₀)/h, многочлен Ньютона (8.4) можно записать в следующем виде:

Многочлен (8.7) называется интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперед. Эта формула применяется, когда значение х находится ближе к началу отрезка интерполирования.

Заметим, что в формуле (8.7) используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке таб­лицы конечных разностей. Можно использовать конечные разности, расположенные и в нижней косой строке таблицы конечных разностей, записав многочлен в виде интерполяционного многочлена Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

(8.8)

Здесь q=(х-х_п)/h - безразмерная переменная. Формула

(8.8) применяется, когда значение х находится ближе к концу отрезка интерполирования.

Указание. При составлении программы ограничиться конечными разностями третьего порядка.

Алгоритм программы

Задание константы х;

определение переменных;

начало исполняемой части программы

задание значений элементов массива у ;

в цикле по i от 1 до 9 d1y[i]=у[i+1]-у[i];

в цикле по i от 1 до 8 d2y[i]= d1y[i+1]-d1y[i];

в цикле по i от 1 до 7 d3y[i]= d2y[i+1]-d2y[i]; {интерполяция вперед}

t=x-1; {интерполяция назад} ; вывод на экран значений х и у конец программы.