Вопросы для самопроверки

1. Как вычисляются углы между плоскостью и прямой?

2. Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости?

3. Как проверить, что прямая принадлежит плоскости?

4. Как найти точку пересечения прямой с плоскостью?

5. Как найти расстояние между параллельными прямыми, между скрещивающимися прямыми?

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти угол между прямой EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 и плоскостью EMBED Equation.3 .

Ответ. EMBED Equation.3 .

2. При каком значении EMBED Equation.3 прямая EMBED Equation.3 параллельна плоскости EMBED Equation.3 .

Ответ. EMBED Equation.3 .

3. При каких значениях B и D прямая EMBED Equation.3 лежит в плоскости EMBED Equation.3 ?

Ответ. B=2 и D=8.

4. При каких значениях EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 прямая перпендикулярна плоскости EMBED Equation.3 ?

Ответ. EMBED Equation.3 .

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Ответ.1) (2; -3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости; 3) прямая лежит на плоскости.

6. Найти точку Q, симметричную точке Р (4; 1; 6) относительно прямой

EMBED Equation.DSMT4

Ответ. Q (2; - 3; 2).

7. Найти точку Q, симметричную точке Р (2; -5; 7) относительно прямой, проходящей через точки М₁ (5; 4;6) и

М₂(-2;-17; - 8).

Ответ. Q (4; 1; -3).

8. Найти проекцию точки Р (5; 2; -1) на плоскость

EMBED Equation.3 .

Ответ. (1; 4; -7).

9. Найти точку Q, симметричную точке Р (1; 3; -4) относительно плоскости EMBED Equation.3 .

Ответ.Q (-5; 1; 0).

10. Вычислить расстояние d от точки Р(2 3;-1) до следующих прямых:

1) EMBED Equation.3

2) EMBED Equation.DSMT4

3) EMBED Equation.DSMT4

Ответ.1) 21; 2) 6; 3) 15.

11. Убедившись, что прямые

EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4

параллельны, вычислить расстояние между ними.

Ответ. 25

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1; 2;-3) параллельно прямым

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3 .

13. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1) EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 .

2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 .

Ответ. 1) 3; 2) 7.

Занятие 14. Прямая на плоскости

14.1. Общее уравнение прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяют относительно этой системы прямую линию.

Уравнение вида

Ах + Ву + С = 0 (14.1)

называется общим уравнением прямой, здесь EMBED Equation.3 какие угодно постояные, причем из постоянных EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 хотя бы одна отлична от нуля. Эта прямая ортогональна вектору EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 – нормальному вектору прямой.

В самом деле уравнение (14.1) имеет хотя бы одно решение х₀, у₀, т. е существует точка EMBED Equation.3 (х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (14.1):

Ах₀ + Ву₀ +С = 0.

Вычитая это уравнение из (5.1), получим уравнение прямой, проходящей через точку

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 (14.2)

Это уравнение определяет прямую, проходящую через точку EMBED Equation.3 (х₀,у₀) и перпендикулярную вектору EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

Если два общих уравнения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны EMBED Equation.3 .

Общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 называется полным, если все коэффициенты EMBED Equation.3 ¹ 0. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным.

С = 0: Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат.

В = 0: Ах + С = 0 – прямая, перпендикулярная оси EMBED Equation.3 х ( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 перпендикулярен оси EMBED Equation.3 у).

В = 0; С = 0: Ах = 0 – ось EMBED Equation.3 у (прямая параллельна EMBED Equation.3 у и проходит через начало координат).

Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению прямой в отрезках

_{EMBED Equation.3} , (14.3)

где EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 .Числа EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 у от начала координат, соответственно. Это уравнение удобно для построения прямой на чертеже.

Пример 14.1. Даны вершины треугольника

EMBED Equation.3 Составить уравнение высоты AD.

Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор EMBED Equation.3 является вектором нормали для прямой EMBED Equation.3 . Тогда общее уравнение прямой EMBED Equation.3 имеет вид

EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3}