13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

Две прямые в пространстве могут:

1. пересекаться;

2. быть параллельными;

3. скрещиваться.

В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Пусть прямые EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 заданы каноническими уравнениями:

_{EMBED Equation.3} ; EMBED Equation.3 .

Для принадлежности двух прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

_{EMBED Equation.3} , ( EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 точки на прямых EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 были компланарны, т.е. смешанное произведение этих векторов равно нулю

_(13.1) Пример 13.1. Доказать, что прямые пересекаются.

_{EMBED Equation.3}

Решение. Применим формулу (4.1).

_{EMBED Equation.3}

=-104 – 6 + 110 = 0.

Таким образом, прямые лежат в одной плоскости. А так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны, следовательно, прямые не параллельны, а пересекаются. Что и требовалось доказать.

13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим плоскость p, заданную уравнением EMBED Equation.3 и прямую EMBED Equation.3 , заданную каноническими уравнениями:

_{EMBED Equation.3}

Поскольку угол j между прямой EMBED Equation.3 и плоскость p является дополнительным к углу между вектором нормали плоскости EMBED Equation.3 и направляющим вектором прямой EMBED Equation.3 , то ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 ; cosy = cos(90⁰ - j) = sinj, тогда

_{EMBED Equation.3} (13.2)

Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости

Аl +Bm +Cn = 0 (13.3)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3} (13.4)

Пример 13.2. При каком значении EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 прямая

EMBED Equation.3 и плоскость EMBED Equation.3 перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности прямой и плоскости (4.4). Тогда EMBED Equation.3 . Получаем EMBED Equation.3

Пример 13.3. При каком значении n прямая

EMBED Equation.3 параллельна плоскости EMBED Equation.3 .

Решение. Обращаемся к условию параллельности прямой и плоскости (4.3). Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим EMBED Equation.3 или

EMBED Equation.3 откуда EMBED Equation.3

13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости

Условие принадлежности прямой _{EMBED Equation.3} к плоскости EMBED Equation.3 выражается двумя равенствами

EMBED Equation.3 , (13.5)

первое из которых означает, что точка EMBED Equation.3 (x₁,y₁,z₁), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе- это условие параллельности прямой и плоскости.

Координаты точки пересечения прямой _{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3} и плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений

_{EMBED Equation.3 (13.6)}

Пример 13.4. Доказать, что прямая

EMBED Equation.3 лежит в плоскости

3x+2y-4z-23=0.

Решение. Воспользуемся формулой (4.5)

_{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

Следовательно, прямая лежит в данной плоскости.

Пример 13.5. Найти точку пересечения плоскости EMBED Equation.3 и прямой EMBED Equation.3

Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для EMBED Equation.3 в уравнение плоскости

EMBED Equation.3

После упрощения получим EMBED Equation.3 откуда EMBED Equation.3 Из уравнения прямой при EMBED Equation.3 находим координаты точки пересечения EMBED Equation.3 Таким образом, искомой точкой пересечения является точка EMBED Equation.3

Пример 13.6. Дана прямая EMBED Equation.3 и вне ее точка М ( 1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной прямой.

Решение. Составим уравнение плоскости, проектирующей точку М на данную прямую, в виде

EMBED Equation.DSMT4

Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости EMBED Equation.DSMT4 , находим уравнение плоскости

EMBED Equation.DSMT4

или

EMBED Equation.DSMT4 .

Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему уравнений

EMBED Equation.3

Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

_{EMBED Equation.3}

Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t =1/14. Отсюда x =8/7, y =3/ 14, z =-15/14.

Тогда координаты симметричной точки можно найти из формул середины отрезка, т.е.

EMBED Equation.DSMT4 ,

или

EMBED Equation.DSMT4 ,

откуда EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Следовательно,

N(9/7; - 4/7; - 22/7).

Пример 13.7. Вычислит расстояние d точки Р(1 -1;-2) от прямой

EMBED Equation.3

Решение 1. Выберем на прямой какую-нибудь точку, например М₁( -3; -2; 8). Будем считать, что направляющий вектор прямой EMBED Equation.DSMT4 приложен в точке М₁. Модуль векторного произведения векторов EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р , будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстояния d имеем формулу EMBED Equation.DSMT4 . Теперь вычислим координаты вектора EMBED Equation.DSMT4 , зная координаты его конца и начала: EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 . Найдем векторное произведение векторов EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 . Определим его модуль EMBED Equation.DSMT4 . Вычислим модуль вектора EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 . Найдем искомое расстояние EMBED Equation.DSMT4 .

Решение 2. Составим уравнение плоскости, проектирующей точку Р на данную прямую, в виде

EMBED Equation.DSMT4

Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости EMBED Equation.DSMT4 , находим уравнение плоскости EMBED Equation.DSMT4 .

Найдем точку М пересечения прямой с построенной плоскостью. Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде _{EMBED Equation.3}

Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t = 2. Отсюда x = 3, y =2, z =-4. Расстояние между точками Р и М будет являться искомым расстоянием d. Следовательно

EMBED Equation.DSMT4

Пример 13.8. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми

EMBED Equation.3 ;. EMBED Equation.3 .

Решение. Данные прямые являются скрещивающимися и лежат в параллельных плоскостях. Через прямую l₂проведем плоскость параллельную прямой l₁. В качестве нормального вектора возьмем EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - направляющие векторы прямых.

EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4

Зная точку на прямой l₂ - М₂(21;-5; 2), запишем уравнение плоскости в виде

EMBED Equation.DSMT4 или

EMBED Equation.DSMT4 .

Расстояние от точки М₁(-7; -4; -3) на прямой l₁ и будет искомым расстоянием:

EMBED Equation.DSMT4 .