10.2. Нормальное уравнение плоскости.

Зададим вектор EMBED Equation.3 в прямоугольной системе координат, EMBED Equation.3 имеет начало в точке О. Через EMBED Equation.3 проведем плоскость EMBED Equation.3 перпендикулярную к EMBED Equation.3 . Произвольную точку плоскости обозначим Q(х, у, z); EMBED Equation.3 - радиус – вектор.

П усть р = | EMBED Equation.3 | - длина вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - единичный вектор направленный в ту же сторону, что и вектор EMBED Equation.3 .

_{EMBED Equation.3} = (cosa, cosb, cosg),

где a,b,g - углы, образуемые вектором EMBED Equation.3 с положительным направлением осей х, у, z

Проекция любой точки Q Î p на вектор EMBED Equation.3 , есть величина постоянная, равная р:

( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) = р (р ³ 0) (10.3)

Получили уравнение плоскости в векторной форме.

В координатах (10.3) записывается:

xcosa +уcosb +zcosg = EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ³ 0) (10.4)

Это – нормальное уравнение плоскости; где EMBED Equation.3 – длина перпендикуляра опущенного из начала координат на плоcкость.

Произвольное уравнение в общем виде (10.1) можно привести к нормальному виду, умножив его на число

t = ± 1/ EMBED Equation.3 , где знак берется противоположным знаку EMBED Equation.3 .

Тогда EMBED Equation.3

Здесь вектор EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 единичный ê EMBED Equation.3 ê= 1, его проекции на оси координат равны EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Таким образом

xcosa + уcosb + zcosg = р , (р ³ 0) , т.е. получим уравнение плоскости в нормальном виде.

Из этого уравнения мы можем узнать расположение плоскости относительно системы координат.

Точка М(х, у,z) лежит на плоскости, тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (10.4).

Если же точка не лежит на плоскости, то

хcosa +уcosb +zcosg - р = d

d есть отклонение точки М от плоскости. Отклонение d - есть число (+ EMBED Equation.3 ), где d - расстояние от точки до плоскости, если точка EMBED Equation.3 и начало координат лежат по разные стороны от плоскости. И EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 лежат по одну сторону от плоскости

EMBED Equation.DSMT4 . (10.5)

Расстояние от точки до плоскости равно EMBED Equation.3 .

Пример 10.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку EMBED Equation.3 перпендикулярно вектору EMBED Equation.3 .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна вектору EMBED Equation.3 , то он является вектором нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (10.2), для плоскости, проходящей через заданную точку, получаем EMBED Equation.3 . Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем искомое уравнение плоскости 4x-5y+7z=0 .

Пример 10.2. Дан тетраэдр с вершинами: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Найти длину высоты, опущенной из вершины EMBED Equation.3 на грань EMBED Equation.3 .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки EMBED Equation.3 до плоскости, проходящей через точки EMBED Equation.3 Составим уравнение этой плоскости:

EMBED Equation.3 .

Раскрывая определитель по первой строке, получаем EMBED Equation.3 . Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем EMBED Equation.3 .

По формуле (10.5) находим расстояние от точки EMBED Equation.3 до плоскости:

EMBED Equation.3 .

Пример 10.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, то ее вектор нормали EMBED Equation.3 также перпендикулярен нормальным векторам EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Следовательно,

EMBED Equation.3 Далее, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М(3;-1;-5) перпендикулярно вектору

EMBED Equation.3 , получаем EMBED Equation.3 , или EMBED Equation.3

Пример 10. 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости 2х+Зу-6z+21=0. .

Решение. Находим нормирующий множитель (знак которого «минус», поскольку D = 21>0);

EMBED Equation.3

Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Пример 10.5. Определить расстояние от точки М(3;5;-8) до плоскости EMBED Equation.3 —3y + 2z — 28 = 0.

Решение. Используем формулу расстояния от точки до плоскости

EMBED Equation.3

Находим: EMBED Equation.3

(Результат подстановки отрицателен; таким образом, заданная точка и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.)

Пример 10.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;3;-1) параллельно плоскости

EMBED Equation.3

Решение. Напишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку:

А(х—2) +В (у—3)+С(z+1) = 0.

Чтобы искомая плоскость была параллельна данной плоскости, необходимо выполнение условия

EMBED Equation.3

Отсюда следует, что A = 5t, B = -3t, C = 2t. Следовательно, уравнение искомой плоскости примет вид

5t(x-2)-3t(y-3)+2t(z+1)=0,

или

5x-3y+2z+1=0

Нетрудно видеть, что с самого начала можно принять

А = 5, В= —3, С = 2.

Пример 10.7.. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2: -1; 5) и перпендикулярной к плоскостям Зх-2y + z+7 = 0 и 5x—4y+3z+ 1=0.

Решение. Запишем уравнение искомой плоскости в виде

A(x-2)+B(y + 1)+C(z - 5)=0.

Так как плоскость перпендикулярна к заданным плоскостям, то должны выполняться условия

EMBED Equation.DSMT4 Исключив из системы уравнений

EMBED Equation.DSMT4 ЗА - 2В+С = 0,

коэффициенты A, В, С (пользуемся тем, что система трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными A, В и С имеет ненулевое решение, так как плоскость, удовлетворяющая поставленным условиям, существует всегда), получаем уравнение искомой плоскости в виде

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 или x+2y+z-5=0

Пример 10.8.. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями х- 2y -2 z-12 = 0 и х- 2y -2 z-12 .

Решение. На первой плоскости выберем точку M(x;y;z).Две координаты можно выбрать произвольно, а третья определится из уравнения плоскости. Пусть х=0; y=0: тогда z=6. Расстояние между параллельными плоскостями будет равно расстоянию от точки M(0;0;6) до второй плоскости. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости (10.5).

Получим EMBED Equation.3