Задачи для самостоятельного решения

1. Даны точки А(3;-1; 2) и В(-1; 2; 1). Найти координаты векторов EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .

2. Вычислит модуль вектора EMBED Equation.DSMT4 ={6; 3; -2}.

3. Дан модуль вектора EMBED Equation.DSMT4 = 2 и углы α = 45˚, β = 60˚ , γ= 120˚. Вычислить проекции вектора EMBED Equation.DSMT4 на координатные оси.

4. Вычислить направляющие косинусы вектора EMBED Equation.DSMT4 ={12; -15; -16}.

5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) α = 45˚, β = 60˚ , γ= 120˚; 2) α = 45˚,

β =135˚ , γ= 60˚; 3) α = 90˚, β =150˚ , γ= 60˚.

6. Вектор EMBED Equation.DSMT4 составляет с осями Ох и Оz углы α = 120˚ и

γ= 45˚. Какой угол он составляет с осью Оу.

7. Вектор EMBED Equation.DSMT4 составляет с координатными осями углы

α = 60˚, β = 120˚. Вычислить его координаты при условии, что EMBED Equation.DSMT4 =2.

10. Даны два вектора EMBED Equation.DSMT4 .={3; -2; 6} и EMBED Equation.DSMT4 = {-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ; 2) EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 ; 3) 2 EMBED Equation.DSMT4 ; 4) - EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5) 2 EMBED Equation.DSMT4 + 3 EMBED Equation.DSMT4 ; 6) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 .

11. Даны точки А (-1; 5; -10), В ( 5; -7; 8), С (2; 2; -7) и

D (5; -4; 2).Проверить . что векторы EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

12. Найти орт вектора EMBED Equation.DSMT4 ={6; -2; -3}.

13. Определить модули суммы и разности векторов

- EMBED Equation.DSMT4 ={3; -5; 8} и EMBED Equation.DSMT4 ={-1; 1; -4}.

Ответы: 1. EMBED Equation.DSMT4 {-4; 3; -1}, EMBED Equation.DSMT4 = {4;- 3; 1}. 2. EMBED Equation.DSMT4 = 7. 3. EMBED Equation.DSMT4 . 4. ) cos α =3/13, cos β = 4/13 ,

cos γ= 12/13; 5 1) Может; 2) не может; 3) может. 6. 60˚ или 120˚. 7. EMBED Equation.DSMT4 .={1; -1; EMBED Equation.DSMT4 } или EMBED Equation.DSMT4 .={1; -1; - EMBED Equation.DSMT4 }.. 10. 1) {1; -1; 6}; 2){5; -3; 6}; 3) {6; -4; 12}; 4) {1; -1/2; 0}; 5) {0; -1; 12}; 6) {3; -5/3; 2}. 11. Вектор EMBED Equation.DSMT4 в два раза длиннее вектора EMBED Equation.DSMT4 ; они направлены в одну сторону. 12 EMBED Equation.DSMT4 =.{6/7; -2/7; -3/7}..13. EMBED Equation.DSMT4 = 6, EMBED Equation.DSMT4 = 14.

Занятие 7. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .

_{EMBED Equation.3} , (7.1)

где EMBED Equation.3 - угол между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Физический смысл – скалярное произведение- это работа вектора силы EMBED Equation.3 вдоль вектора EMBED Equation.3 .

Произведение EMBED Equation.3 - есть проекция вектора EMBED Equation.3 на ось, определяемую вектором EMBED Equation.3 , или же EMBED Equation.3 - проекция вектора EMBED Equation.3 на ось, определяемую вектором EMBED Equation.3 , так как угол EMBED Equation.3 - угол между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

_{EMBED Equation.3 ,} (7.2)

Умножая вектор сам на себя, получим формулу для вычисления модуля вектора

_{EMBED Equation.3} . (7.3)

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

В дальнейшем под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол, который не превосходит EMBED Equation.3 .