_{В.Н. Дурова М.И. Зайцева}

_{АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.}

_{ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ}

_{Учебное пособие}

_{Воронеж 2007}

_{ГОУВПО «Воронежский государственный}

_{технический университет»}

_{В.Н. Дурова М.И. Зайцева}

_{АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.}

_{ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ}

_{Утверждено Редакционно-издательским советом}

_{университета в качестве учебного пособия}

_{Воронеж 2007}

УДК 517.2. (07)

_{Дурова В.Н. Аналитическая геометрия. Практические занятия: учеб. пособие /В.Н. Дурова, М.И. Зайцева. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007. 153 с.}

В пособии рассматриваются разделы аналитической геометрии, векторной и линейной алгебры. Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника», специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования».

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов первого курса очной формы обучения.

_{Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержится в файле ANALITIKA.doc.}

_{Ил. 19. Библиогр.: 6 назв.}

_{Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников}

_{Рецензенты: кафедра программного обеспечения и}

_{администрирования информационных}

_{систем Воронежского государственного}

_{университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат.}

_{наук, проф. М.А. Артемов);}

_{канд. физ.-мат. наук, доц. О.А. Соколова}

_{© Дурова В.Н., Зайцева М.И., 2007}

_{© Оформление. ГОУВПО}

_{«Воронежский государственный}

_{технический университет», 2007}

Занятие 1. Вычисление определителей.

Основные свойства определителей

1.1. Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

А= ,

Тогда ее определитель второго порядка вводится по формуле

det A= = (1.1)

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов стоящих на главной диагонали вычитается произведение элементов стоящих на второй диагонали матрицы А.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержится все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(1.2) Правило вычисления определителя третьего порядка таково. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком “минус” – произведения, сомножители которых стоят не на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1).

Порядок определителя равен порядку соответствующей матрицы.

1.2. Основные свойства определителя

1. Величина определителя не изменяется, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е.

= .

2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильно уменьшению его на число (-1).

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число , т. е. общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

= .

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-ой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы определителей. Первый из которых имеет в n-ой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в n-ой строке (столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах):

= + .

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

= + , =0.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Это число .

Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется число, равное минору этого элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное и со знаком (-) – в противном случае

(2.3)

; ; .

9. Разложение определителя по строке (столбцу) (Один из способов вычисления определителя) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.

Определитель 3-го порядка разложим по первой строке

= - + ;

Пример 1.1 . Вычислить определитель четвертого порядка

.

Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид

=

=3(3 +14 + 48 – 126 – 2 - 8) + 2(4 + 24 + 36 - 48 - 9 - 4)= -207.

10. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна нулю.

11. Произведение двух определителей n-го порядка с элементами есть в свою очередь определитель

n-го порядка с элементами :

.

12. При транспонировании матрицы определитель не меняется.