Контрольная работа №3
Задачи 1 – 20. Вычислить определенные интегралы
1.
а)
, б)
.
2.
а)
, б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
а)
, б)
.
5.
а)
, б)
.
6.
а)
, б)
.
7.
а)
, б)
.
8.
а)
, б)
.
9.
а)
, б)
.
10.
а)
, б)
.
11.
а)
, б)
.
12.
а)
, б)
.
13.
а)
, б)
.
14.
а)
, б)
.
15.
а)
, б)
.
16.
а)
, б)
.
17.
а)
, б)
.
18.
а)
, б)
.
19.
а)
, б)
.
20.
а)
, б)
.
Задачи 21 –40. Приложение определенного интеграла к геометрическим задачам
21.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оx кривой
,
где
.
22.
Вычислить длину линии
,
,
где
.
23.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
и
.
24.
Вычислить длину линии
,
,
где
.
25.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
.
26.
Вычислить длину дуги кривой
между точками пересечения с осью Ox.
27.
Найти площадь, ограниченную гиперболой
и прямой
.
28.
Найти периметр фигуры, ограниченной
линиями
.
29.
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной
(одной полуволной),
вокруг оси Ox.
30.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
прямыми
и кривыми
.
31.
Вычислить площадь криволинейного
треугольника, ограниченного осью абсцисс
и линиями
и
,
где
.
32.
Вычислить длину дуги полукубической
параболы
,
заключенной между точками (0;0) и (4;8).
33.
Найти площадь астроиды
.
34. Вычислить площадь
части гиперболы
,
отсекаемой от нее прямой
.
35.
Вычислить длину дуги развертки круга
от
до
.
36. Найти площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
37. Вычислить длину
дуги кривой
,
заключенной между точками с абсциссами
и
.
38.Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболами
.
39. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболами
.
40. Вычислить объем
тела, образованного вращением отрезка
прямой
,
заключенного между осями координат.
Задачи 41 – 60. Вычислить двойной интеграл
41.
Вычислить
по области D, ограниченной кривыми:
.
42.
Вычислить
по области D, ограниченной кривыми:
.
43.
Вычислить
по области D, ограниченной прямыми:
,
,
.
44.
Вычислить
по области D, ограниченной прямыми:
в первой четверти.
45.
Вычислить
по области D, ограниченной кривыми:
.
46.
Вычислить
по области D, ограниченной прямыми:
.
47.
Вычислить
по области D, ограниченной кривыми:
.
48.
Вычислить
по области
,
ограниченной кривыми:
.
49.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена прямыми
,
и гиперболой
.
50.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена кривыми
,
.
51.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена кривыми
,
.
53.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
54.
Вычислить
,
если область
ограничена прямыми
,
и
.
55.
Вычислить
,
если область
ограничена прямыми
,
и
.
56.
Вычислить двойной интеграл
,
где область
определяется неравенствами:
.
57.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
58.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
59.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
60.
Вычислить
по области D, ограниченной кривыми:
,
.
Задачи 61 – 80. Вычислить криволинейный интеграл
61.
Вычислить
если
L – описывается линией
,
где
.
62.
Вычислить криволинейный интеграл
по линии
,
где
.
63.
Вычислить криволинейный интеграл
по линии
,
где
,
.
64.
Вычислить криволинейный интеграл
по отрезку прямой линии от
до
.
65.
Вычислить криволинейный интеграл
,
где
,
.
66.
Вычислить криволинейный интеграл
по замкнутому контуру
.
67.
Вычислить криволинейный интеграл
по отрезку прямой
.
(Задайте прямую параметрически.)
68.
Вычислить криволинейный интеграл
,
где
-
отрезок прямой
,
отсеченный параболой
.
69.
Вычислить интеграл
по отрезку прямой.
70.
Вычислить интеграл
,
где
–
дуга кривой
от точки
до
.
71.
Вычислить
,
где
– дуга синусоиды
от
до
.
72.
Вычислить интеграл
,
где
–
ломаная
,
причем точки
,
,
.
73.
Вычислить
,
-
дуга кривой
.
74.
Вычислить
,
-
отрезок прямой между точками
,
.
(Задайте прямую параметрически.)
75.
Вычислить
,
где
-
дуга кривой
,
,
от точки
до точки
.
76.
Вычислить криволинейный интеграл
,
где
- дуга кривой
.
77.
Вычислить интеграл
по отрезку прямой
с началом в точке
и концом в точке
.
78.
Вычислить
,
где
часть кривой
с началом в точке
и концом в точке
.
79.
Вычислить
,
где
-
дуга кривой
,
от точки
до точки
.
80.
Вычислить
,
где
- часть прямой
,
расположенная в первом координатном
углу.
Задачи 81 – 100. Используя двойной или криволинейный интеграл
81. Найти массу дуги
АВ кривой
от точки
до точки
,
если в каждой точке ее плотность равна
квадрату абсциссы.
82. Найти работу
силового поля при перемещении точки из
А(1,0) в В(2,1) по параболе, если в
каждой точке
поля на нее действует сила
.
83. Найти объем
тела, ограниченного цилиндрами
и плоскостями
.
83. Найти массу дуги
ОА дуги
,
если в каждой точке М линейная
плотность пропорциональна длине дуги
.
84. Найти объем
тела, ограниченного плоскостями
,
,
,
и
.
85. Проекции силы
на оси задаются формулой
,
вычислить величину работы при перемещении
из точки
в точку
по прямой.
86.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
,
и
.
87.
Найти массу материальной дуги кривой
между точками
,
,
если линейная плотность вещества в
любой точке кривой пропорциональна
абсциссе этой точки.
88.
Найти работу, производимую силой
вдоль дуги кривой
от точки
до точки
.
89. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной указанными
линиями:
.
90.
Вычислить длину линии
между точками пересечения с осью
.
91.
Вычислить площадь фигуры, определяемой
неравенством
.
92. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями:
93. Найти длину
винтовой линии:
,
где
.
94. Вычислить длину
дуги линии
для
.
95. Найти массу
материальной дуги линии
с
плотностью
.
96. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
.
97.
Найти массу материальной дуги линии
с
линейной плотностью
для
.
98. Найти работу,
производимую силой
вдоль кривой
от точки
до точки
.
99. Вычислить объем
тела, ограниченного поверхностью
и плоскостями
,
,
и
.
100. Вычислить объем
тела, ограниченного плоскостями
,
,
,
и
.