- •Дискретная математика
- •Воронеж 2012
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.2. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1.3. Мощность множества
- •1.4. Взаимно однозначное соответствие между множествами
- •1.5. Счетные и несчетные множества
- •Задачи и упражнения
- •2. Элементы теории отношений
- •2.1. Бинарные отношения. Свойства отношений
- •2.2. Отношение эквивалентности и разбиения
- •2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
- •Задачи и упражнения
- •3. Функции, отображения и операции
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения теории графов
- •4.2. Типы графов
- •4.3. Матричные представления графов
- •4.5. Операции над графами
- •4.6. Метрические характеристики графа. Расстояние в графах
- •Затем, изымая степень, соответствующую вершине , получим
- •4.8. Достижимость и связность
- •4.8.1. Основные определения
- •4.8.2. Матрицы достижимостей
- •4.8.3. Нахождение сильных компонент
- •Алгоритм нахождения сильных компонент графа можно описать следующей последовательностью шагов
- •Таким образом, сильные компоненты графа можно находить по следующему алгоритму.
- •4.8.4. Базы и антибазы
- •4.9. Независимые и доминирующие множества
- •4.9.1. Нахождение всех максимальных независимых множеств
- •Опишем алгоритм нахождения всех максимальных независимых множеств вершин графа.
- •4.10. Покрытия и раскраски
- •4.11. Деревья, остовы и кодеревья
- •4.11.1. Основные определения
- •4.11.2. Алгоритм построения остова неорграфа
- •4.11.4. Обходы графа по глубине и ширине
- •Доказательство.
- •4.11.5. Упорядоченные и бинарные деревья
- •4.12. Эйлеровы циклы. Гамильтонов контур
- •4.12.1. Метод Флёри построения эйлерова цикла
- •Матрица м данного графа имеет вид
- •4.12.3. Алгебраический метод выделения гамильтоновых путей и контуров
- •4.13. Плоские и планарные графы
- •4.13.1. Формула Эйлера
- •4.13.2. Критерии анализа планарности
- •4.13.3. Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Задачи и упражнения
- •5. Алгебра логики
- •5.1. Операции над высказываниями
- •5.2. Правила записи сложных формул
- •5.3. Таблицы истинности
- •5.4. Равносильность формул
- •5.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •5.5.1. Аналитический способ приведения к сднф
- •5.5.2. Табличный способ приведения к сднф
- •5.5.3. Табличный способ приведения к скнф
- •5.7. Геометрическое представление булевых функций
- •5.7.1. Геометрический метод минимизации булевой функции
- •Задачи и упражнения
- •6. Разрешимые и неразрешимые проблемы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Покажем, что для каждой ПФ существует ей равносильная специального вида. Если Х – пропозициональная переменная, v есть 0 или 1, то выражение
называется литерой. Литеры X и называются контрарными.
Заметим, что ПФ тогда и только тогда, когда , то есть .
Следовательно, ПФ на наборе принимает значение 1, а на любом другом – значение 0. Аналогично ПФ принимает значение 0 только на наборе ( , ,..., ), а на всех остальных наборах – 1 [3].
Т еорема 5.5.1. Для любой ПФ имеет место равносильность
называемая дизъюнктивным разложением по переменной Х1.
Доказательство.
Пусть – произвольная ПФ. Определим значения левой и правой частей равносильности при Х1=1 и Х1=0.
П ри Х1=0 в левой части равносильности получаем ПФ , а в правой части –
Таким образом, в левой и правой частях равносильности получаем одну и туже ПФ .
Аналогично можно показать, что при Х1=1 значением левой и правой частей равносильности является ПФ .
Итак, для любого набора значений переменных Х1, Х2, ..., Хn левая и правая части равносильности совпадают, что и доказывает справедливость теоремы.
Пример. Для ПФ определить дизъюнктивное разложение по переменной Х1.
С ледствие. Для любой ПФ и любого натурального k имеет место равносильность
,
называемая дизъюнктивным разложением по переменным .
Теорема 5.5.2. Для любой ПФ имеет место равносильность
называемая конъюнктивным разложением по переменной Х1.
Доказательство теоремы 5.5.2 аналогично доказательству теоремы 5.5.1.
Пример. Для ПФ определить конъюнктивное разложение по переменной Х1.
Следствие. Для любой ПФ и любого натурального k имеет место равносильность
,
называемая конъюнктивным разложением по переменным .
Таким образом, для любой ПФ существует равносильная ей, содержащая только константы 0 и 1, символы и переменные.
Определим некоторые канонические представления ПФ.
ПФ называется элементарной конъюнкцией (конъюнктом), если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных (конъюнкцией литер).
ПФ называется элементарной дизъюнкцией (дизъюнктом), если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных (дизъюнкцией литер).
Пример.
, , , – элементарные конъюнкции.
, , – элементарные дизъюнкции.
Говорят, что ПФ задана в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.
Пример. – ДНФ.
Говорят, что ПФ задана в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций.
Пример. – КНФ.
На основе равносильных преобразований любая формула может быть приведена к нормальной форме (ДНФ или КНФ) [3,4].
Алгоритм приведения ПФ к нормальным формам описывает следующая последовательность шагов.
Если ПФ содержит операции → и ↔, то их исключить с помощью равносильностей
, .
Привести отрицания к независимым переменным, используя законы де Моргана.
Раскрыть скобки по дистрибутивному закону конъюнкции относительно дизъюнкции для приведения к ДНФ или по дистрибутивному закону дизъюнкции относительно конъюнкции для приведения к КНФ.
Пример. Определить нормальные формы для ПФ .
Действуя, в соответствии с алгоритмом, получим ДНФ.
П рименяя к полученной ДНФ дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции, получим
Замечание. Для ПФ представление в виде нормальных форм не единственно. Переход от одной формы к другой осуществляется на основе равносильных преобразований.
В отличие от нормальных форм представление в виде совершенных нормальных форм является единственным.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данной ПФ называется ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной ПФ называется КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные – без отрицания или с отрицанием, но не вместе.
Существует два способа перехода к совершенным формам табличный и аналитический [2, 3, 4].