- •Дискретная математика
- •Воронеж 2012
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.2. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1.3. Мощность множества
- •1.4. Взаимно однозначное соответствие между множествами
- •1.5. Счетные и несчетные множества
- •Задачи и упражнения
- •2. Элементы теории отношений
- •2.1. Бинарные отношения. Свойства отношений
- •2.2. Отношение эквивалентности и разбиения
- •2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
- •Задачи и упражнения
- •3. Функции, отображения и операции
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения теории графов
- •4.2. Типы графов
- •4.3. Матричные представления графов
- •4.5. Операции над графами
- •4.6. Метрические характеристики графа. Расстояние в графах
- •Затем, изымая степень, соответствующую вершине , получим
- •4.8. Достижимость и связность
- •4.8.1. Основные определения
- •4.8.2. Матрицы достижимостей
- •4.8.3. Нахождение сильных компонент
- •Алгоритм нахождения сильных компонент графа можно описать следующей последовательностью шагов
- •Таким образом, сильные компоненты графа можно находить по следующему алгоритму.
- •4.8.4. Базы и антибазы
- •4.9. Независимые и доминирующие множества
- •4.9.1. Нахождение всех максимальных независимых множеств
- •Опишем алгоритм нахождения всех максимальных независимых множеств вершин графа.
- •4.10. Покрытия и раскраски
- •4.11. Деревья, остовы и кодеревья
- •4.11.1. Основные определения
- •4.11.2. Алгоритм построения остова неорграфа
- •4.11.4. Обходы графа по глубине и ширине
- •Доказательство.
- •4.11.5. Упорядоченные и бинарные деревья
- •4.12. Эйлеровы циклы. Гамильтонов контур
- •4.12.1. Метод Флёри построения эйлерова цикла
- •Матрица м данного графа имеет вид
- •4.12.3. Алгебраический метод выделения гамильтоновых путей и контуров
- •4.13. Плоские и планарные графы
- •4.13.1. Формула Эйлера
- •4.13.2. Критерии анализа планарности
- •4.13.3. Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Задачи и упражнения
- •5. Алгебра логики
- •5.1. Операции над высказываниями
- •5.2. Правила записи сложных формул
- •5.3. Таблицы истинности
- •5.4. Равносильность формул
- •5.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •5.5.1. Аналитический способ приведения к сднф
- •5.5.2. Табличный способ приведения к сднф
- •5.5.3. Табличный способ приведения к скнф
- •5.7. Геометрическое представление булевых функций
- •5.7.1. Геометрический метод минимизации булевой функции
- •Задачи и упражнения
- •6. Разрешимые и неразрешимые проблемы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.11.5. Упорядоченные и бинарные деревья
Определим по индукции понятие упорядоченного дерева:
1) пустое множество и список (а), где а некоторый элемент, является упорядоченным деревом;
2) если T1, T2,..., Тп непустые упорядоченные деревья, a некоторый новый элемент, то список Т = (a, T1, T2, ..., Тn) образует упорядоченное дерево. При этом элемент а называемся корнем упорядоченного дерева Т;
3) любое упорядоченное дерево строится в соответствии с п.п. 1 и 2.
Если T1, T2, ..., Тn упорядоченные деревья, то список (T1, T2, ..., Тn) называется упорядоченным лесом.
Для заданного упорядоченного дерева Т определим множество S(Т) его упорядоченных поддеревьев:
если Т = , то S(T) = ;
если Т = (а), то S(T) = {(a)};
если Т=(a, T1, T2, ..., Тn), то S(T)=S(T1)...S(Tn){Т}.
Непустое упорядоченное дерево Т может интерпретироваться в виде системы пронумерованных непустых множеств, каждое из которых взаимно однозначно соответствует упорядоченному поддереву из S(Т) так, что:
1) если Т' поддерево упорядоченного дерева Т", Т',Т"S(T), то для соответствующих множеств X' и X" выполняется включение X' X";
2) если Т' не является поддеревом упорядоченного дерева Т", Т',Т"S(T), то соответствующие множества не пересекаются.
Пример. Упорядоченному дереву
(1, (2, (4), (6)), (3, (6, (8), (9)), (7)))
с оответствует система множеств, изображенная на рис. 4.38.
Рис. 4.38 Рис. 4.39
Упорядоченное дерево может также интерпретироваться в виде так называемого уступчатого списка, который используется в оглавлениях. На рис. 4.39 представлен уступчатый список, соответствующий упорядоченному списку из примера.
Согласно следующему тезису любая схема, в которой заданы определенные приоритеты между элементами, может рассматриваться как некоторое упорядоченное дерево.
Тезис. Любая иерархическая классификационная схема интерпретируется некоторым упорядоченным деревом.
Например, и виде упорядоченного дерева представляется любой терм. На рис. 4.40 изображено упорядоченное дерево, соответствующее терму t=a-b(c:d+e:f).
Рис. 4.40
Частным случаем упорядоченного дерева является бинарное дерево. Определение понятия бинарного дерева повторяет определение для упорядоченного дерева с ограничением п{0,1,2} в п.2. При этом для бинарного дерева Т = ((a),T1,T2), бинарное поддерево T1 называется левым поддеревом, а T2 – правым поддеревом.
Бинарные деревья имеют более простое устройство, чем упорядоченные, и вместе с тем любой упорядоченный лес взаимно однозначно соответствует некоторому бинарному дереву.
Опишем алгоритм преобразования упорядоченною леса Т = (T1, T2, .., Tn) в бинарное дерево В (Т).
Шаг 1. Если n = 0, В(Т) = .
Шаг 2. Если п > 0, то корнем бинарного дерева В(Т) является корень упорядоченного дерева Т1, левое поддерево дерева В(Т) - бинарное дерево В(Т11, Т12, …, Т1m), где Т1= ((a1),T11, T12, ..., T1m), правое поддерево дерева В(Т) - бинарное дерево В(Т2, ..., Тn).