- •Дискретная математика
- •Воронеж 2012
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.2. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1.3. Мощность множества
- •1.4. Взаимно однозначное соответствие между множествами
- •1.5. Счетные и несчетные множества
- •Задачи и упражнения
- •2. Элементы теории отношений
- •2.1. Бинарные отношения. Свойства отношений
- •2.2. Отношение эквивалентности и разбиения
- •2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
- •Задачи и упражнения
- •3. Функции, отображения и операции
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения теории графов
- •4.2. Типы графов
- •4.3. Матричные представления графов
- •4.5. Операции над графами
- •4.6. Метрические характеристики графа. Расстояние в графах
- •Затем, изымая степень, соответствующую вершине , получим
- •4.8. Достижимость и связность
- •4.8.1. Основные определения
- •4.8.2. Матрицы достижимостей
- •4.8.3. Нахождение сильных компонент
- •Алгоритм нахождения сильных компонент графа можно описать следующей последовательностью шагов
- •Таким образом, сильные компоненты графа можно находить по следующему алгоритму.
- •4.8.4. Базы и антибазы
- •4.9. Независимые и доминирующие множества
- •4.9.1. Нахождение всех максимальных независимых множеств
- •Опишем алгоритм нахождения всех максимальных независимых множеств вершин графа.
- •4.10. Покрытия и раскраски
- •4.11. Деревья, остовы и кодеревья
- •4.11.1. Основные определения
- •4.11.2. Алгоритм построения остова неорграфа
- •4.11.4. Обходы графа по глубине и ширине
- •Доказательство.
- •4.11.5. Упорядоченные и бинарные деревья
- •4.12. Эйлеровы циклы. Гамильтонов контур
- •4.12.1. Метод Флёри построения эйлерова цикла
- •Матрица м данного графа имеет вид
- •4.12.3. Алгебраический метод выделения гамильтоновых путей и контуров
- •4.13. Плоские и планарные графы
- •4.13.1. Формула Эйлера
- •4.13.2. Критерии анализа планарности
- •4.13.3. Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Задачи и упражнения
- •5. Алгебра логики
- •5.1. Операции над высказываниями
- •5.2. Правила записи сложных формул
- •5.3. Таблицы истинности
- •5.4. Равносильность формул
- •5.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •5.5.1. Аналитический способ приведения к сднф
- •5.5.2. Табличный способ приведения к сднф
- •5.5.3. Табличный способ приведения к скнф
- •5.7. Геометрическое представление булевых функций
- •5.7.1. Геометрический метод минимизации булевой функции
- •Задачи и упражнения
- •6. Разрешимые и неразрешимые проблемы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.9. Независимые и доминирующие множества
Число доминирования, число независимости, кликовое число эти числа и связанные с ними подмножества вершин описывают важные структурные свойства графа и имеют разнообразные непосредственные приложения при ведении проектного планирования исследовательских работ, в кластерном анализе, параллельных вычислениях на ЭВМ, при размещении предприятий обслуживания, а также источников и потребителей в энергосистемах. Ядро множество вершин, которое является одновременно минимальным доминирующим и максимальным независимым, имеет важное значение в теории игр.
М ножество вершин называется независимым (внутренне устойчивым множеством), если никакие две из них не смежны. Например, для графа, изображенного на рис. 4.27, независимыми являются множества вершин: {x7, x8, x2}, {x3, x1}, {x7, x8, x2, x5}. Когда не могут возникнуть недоразумения, эти множества будут называться просто независимыми множествами (вместо независимые множества вершин).
Рис. 4.27
Независимое множество называется максимальным, если нет другого независимого множества, в которое оно бы входило. Для графа, изображенного на рис. 4.27, множество {x7, x8, x2, x5} является максимальным, а {x7, x8, x2} таковым не является. Следует отметить, что число элементов (вершин) в разных максимальных множествах, как следует из приведенного примера, не обязательно одинаковое.
Если Q является семейством всех максимальных независимых множеств G, то число
называется числом независимости графа G, а множество S*, на котором этот максимум достигается, называется наибольшим независимым множеством. Для графа на рис. 4.27 семейство максимальных независимых множеств таково: {x7, x8, x2, x5}, {x1, x3, x7}, {x2, x4, x8}, {x6, x4}, {x6, x3},{x1, x5, x7}, {x1, x4}, {x3, x7, x8}.
Наибольшее из них множество имеет 4 элемента и, следовательно, . Множество {x7, x8, x2, x5} является наибольшим независимым множеством.
Пример. Пусть имеется n проектов, которые должны быть выполнены. Допустим, что для выполнения проекта xi требуется некоторое подмножество Ri наличных ресурсов из множества{1, 2, … , p}. Предположим, что каждый проект, задаваемый совокупностью средств, необходимых для его реализации, может быть выполнен за один и тот же промежуток времени. Построим граф G, каждая вершина которого соответствует некоторому проекту, а ребро (xi, xj) – наличию общих средств у проектов xi и xj, т. е. условию . Максимальное независимое множество вершин графа G представляет тогда максимальное множество проектов, которое можно выполнить одновременно за один и тот же промежуток времени.
Реальная ситуация соответствует динамической системе, в которой происходит постоянное обновление проектов через определенный промежуток времени. Поэтому каждый раз надо заново повторять процедуру построения максимального независимого множества в соответствующем графа G. В практических ситуациях бывает весьма не просто выполнить множество проектов, соответствующих максимальному независимому множеству на данном отрезке времени, поскольку исполнение некоторых проектов может быть по каким-то причинам отложено. Тогда лучший способ действия состоит в присвоении каждому проекту (вершине) xi некоторого штрафа рi, который увеличивается с ростом времени отсрочки в исполнении проекта. В каждый расчетный момент времени надо выбирать из семейства максимальных независимых множеств такое множество, которое максимизирует некоторую функцию штрафа на вершинах, содержащихся в выбранном множестве.
Множество ребер называется независимым, если никакие два из них не смежны. Наибольшее число ребер в независимом множестве ребер называется реберным числом независимости и обозначается β1. Для полного графа с четным числом вершин β1(К2n)=n, для полного графа с нечетным числом вершин β1(К2n+1)=n–1. Независимое множество ребер называется также паросочетанием.
Независимость тесно связана с понятием доминирования.
Для графа G=(X,V) множество вершин D⊆Х называется доминирующим множеством (внешне устойчивым множеством), если , то есть для каждой вершины xj∉D существует дуга, идущая из некоторой вершины xi∈D в xj.
Доминирующее множество называется минимальным, если его подмножество не является доминирующим. Как и в случае максимальных независимых множеств, в графе может быть несколько минимальных доминирующих множеств, и они не обязательно содержат одинаковое число вершин. Доминирующее множество называется наименьшим, если число элементов в нем минимально. К задачам такого типа относят, например, следующие:
Размещение телевизионных или радиопередающих станций на некоторой территории.
Размещение центров торговли обслуживающих некоторые районы.
Теорема 4.9.1. Независимое множество вершин является максимальным тогда и только тогда, когда оно является доминирующим.