- •Дискретная математика
- •Воронеж 2012
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.2. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1.3. Мощность множества
- •1.4. Взаимно однозначное соответствие между множествами
- •1.5. Счетные и несчетные множества
- •Задачи и упражнения
- •2. Элементы теории отношений
- •2.1. Бинарные отношения. Свойства отношений
- •2.2. Отношение эквивалентности и разбиения
- •2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
- •Задачи и упражнения
- •3. Функции, отображения и операции
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия и определения теории графов
- •4.2. Типы графов
- •4.3. Матричные представления графов
- •4.5. Операции над графами
- •4.6. Метрические характеристики графа. Расстояние в графах
- •Затем, изымая степень, соответствующую вершине , получим
- •4.8. Достижимость и связность
- •4.8.1. Основные определения
- •4.8.2. Матрицы достижимостей
- •4.8.3. Нахождение сильных компонент
- •Алгоритм нахождения сильных компонент графа можно описать следующей последовательностью шагов
- •Таким образом, сильные компоненты графа можно находить по следующему алгоритму.
- •4.8.4. Базы и антибазы
- •4.9. Независимые и доминирующие множества
- •4.9.1. Нахождение всех максимальных независимых множеств
- •Опишем алгоритм нахождения всех максимальных независимых множеств вершин графа.
- •4.10. Покрытия и раскраски
- •4.11. Деревья, остовы и кодеревья
- •4.11.1. Основные определения
- •4.11.2. Алгоритм построения остова неорграфа
- •4.11.4. Обходы графа по глубине и ширине
- •Доказательство.
- •4.11.5. Упорядоченные и бинарные деревья
- •4.12. Эйлеровы циклы. Гамильтонов контур
- •4.12.1. Метод Флёри построения эйлерова цикла
- •Матрица м данного графа имеет вид
- •4.12.3. Алгебраический метод выделения гамильтоновых путей и контуров
- •4.13. Плоские и планарные графы
- •4.13.1. Формула Эйлера
- •4.13.2. Критерии анализа планарности
- •4.13.3. Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Задачи и упражнения
- •5. Алгебра логики
- •5.1. Операции над высказываниями
- •5.2. Правила записи сложных формул
- •5.3. Таблицы истинности
- •5.4. Равносильность формул
- •5.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •5.5.1. Аналитический способ приведения к сднф
- •5.5.2. Табличный способ приведения к сднф
- •5.5.3. Табличный способ приведения к скнф
- •5.7. Геометрическое представление булевых функций
- •5.7.1. Геометрический метод минимизации булевой функции
- •Задачи и упражнения
- •6. Разрешимые и неразрешимые проблемы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
О.В. Собенина
Дискретная математика
Учебное пособие
Воронеж 2012
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
О.В. Собенина
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Воронеж 2012
УДК 519.1
Собенина О.В. Дискретная математика: учеб. пособие / О.В. Собенина. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. 196 с.
В учебном пособии излагаются основы современной дискретной математики: теория множеств, бинарные отношения, теория графов, алгебра высказываний. Каждый раздел иллюстрирован примерами, содержит задачи и упражнения для развития навыков решения основных типов задач.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Системы автоматизированного проектирования в машиностроении»), дисциплине «Дискретная математика».
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Word и содержится в файле «diskret.doc».
Библиогр.: 10 назв.
-
Рецензенты:
кафедра вычислительной математики и прикладных информационных технологий Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Т.М. Леденева);
канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Дурова
Собенина О.В., 2012
Оформление. ФГБОУ ВПО
«Воронежский государственный
технический университет», 2012
Введение
Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением свойств дискретных структур, которые возникают как внутри математики, так и в ее приложениях. Дискретность (от лат discretus – разделенный, прерывистый) – прерывность; противопоставляется непрерывности. Например, система целых чисел (в противоположность системе действительных чисел) является дискретной; дискретное изучение какой-либо величины во времени – это изменение, происходящее через определенные промежутки времени (скачками).
В отличие от дискретной математики классическая математика в основном занимается изучением свойств объектов непрерывного характера. Использование классической математики или дискретной математики как аппаратов исследования связано с тем, какие задачи ставит перед собой исследователь, и в связи с этим, какую модель изучаемого явления он рассматривает: дискретную или непрерывную.
Дискретная математика представляет собой важное направление в математике, в котором можно выделить характерные для дискретной математики предметы исследования, методы и задачи, специфика которых обусловлена в первую очередь необходимостью отказа в дискретной математике от основополагающих понятий классической математики – предела и непрерывности. В связи с этим для многих задач дискретной математики сильные средства классической математики оказываются, как правило, малоприемлемыми.
Элементы дискретной математики возникли в глубокой древности. Развиваясь с другими разделами математики, они явились их составной частью. Типичными для того времени были задачи, связанные со свойствами целых чисел и приведшие затем к созданию теории чисел. К их числу могут быть отнесены отыскания алгоритмов сложения и умножения натуральных чисел (2-е тыс. до н. э.), задачи о суммировании и вопросы делимости натуральных чисел в пифагорейской школе (6 в. до н. э.) и т.д.
Стремление к строгости математических рассуждений и анализ рабочего инструмента математики – логики – привели к выделению еще одного важного раздела математики – математической логики (19-20 вв.).
Однако наибольшего развития дискретная математика достигла в связи с запросами практики, приведшими к появлению новой науки – кибернетики и ее теоретической части – математической кибернетики (20 в.)
Дискретная математика включает в себя такие математические разделы, как теория множеств и отношений, теория графов, теория алгоритмов, комбинаторный анализ, математическую логику и другие, которые наиболее интенсивно стали развиваться в связи с внедрением вычислительной техники. Теория графов является эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Такие задачи возникают при проектировании интегральных схем и схем управления, при исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством и дискретной оптимизации. Широкое применение дискретная математика нашла в современной вычислительной технике: в теоретическом программировании, при проектировании ЭВМ и сетей ЭВМ, баз данных, систем логического управления. Элементы математической логики применяются при решении проблем функционально-логического проектирования.