8. Лекция №8
8.1. Уравнение баланса энергии
Закон об изменении энергии или переноса энергии для некоторого объема формулируется следующим образом.
Изменение во времени полной энергии некоторой массы вещества равно сумме мощностей внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой массе и ее поверхности, сложенной с отнесенным к единице времени количеством тепла, которое протекает вследствие теплопроводности через поверхность, ограничивающую выделенную массу. Приведенный закон можно записать в виде
,
(8.1)
где
- мощности
массовых и поверхностных сил, приложенных
к рассматриваемой массе и ее поверхности;
Q - количество тепла, протекающее в единицу времени через поверхность рассматриваемого объема.
Полная энергия единицы объема Е есть сумма внутренней и кинетической энергии, т.е.
.
(8.2)
Внутренняя
энергия единицы массы при условии, что
газ совершенен, равна произведению
абсолютной температуры Т
на удельную теплоемкость при постоянном
объеме
,
т.е.
.
(8.3)
Следовательно, полная энергия единицы объема равна
.
(8.4)
Работа
массовых или объемных сил может быть
вычислена как сумма работ составляющих
массовых сил, отнесенных к единице
массы,
X,
У и Z
на перемещениях
и
.
Следовательно, мощность массовых сил,
отнесенных к единице объема, равна
.
(8.5)
К
каждой грани элементарного параллелепипеда
приложены силы с нормальными и касательными
составляющими. Рассмотрим
работу сил, приложенных к граням,
перпендикулярным к оси х.
Работа нормальной составляющей
,
приложенной к грани
1, лежащей
в координатной плоскости уz,
равна
,
(8.6)
а работа нормальной составляющей, приложенной к грани 2, удаленной от координатной плоскости уz на расстояние dx, будет
.
(8.7)
Очевидно,
сумма мощностей нормальных составляющих
сил, приложенных к граням, перпендикулярным
к оси х,
отнесенная к единице объема, будет равна
.
Соответствующая сумма мощностей касательных составляющих, приложенных к тем же граням, запишется
.
(8.8)
Аналогичные расчеты мощностей поверхностных сил, приложенных к площадкам, нормальным к осям у и z, дают
;
(8.9)
.
(8.10)
Таким образом, мощность поверхностных сил единицы объема будет
(8.11)
Количество входящего и выходящего из данного объема тепла Q
.
(8.12)
Тогда,
подставив в уравнение
(8.1) выражения
для Е,
,
и Q
по формулам
(8.4), (8.5),
(8.11)
и
(8.12),
окончательно получим уравнение баланса
энергии
.
(8.13)
Мощность массовых сил можно представить в виде скалярного произведения
.
(8.14)
Аналогичным образом представим мощность поверхностных сил в виде
,
(8.15)
где
- векторы напряжений поверхностных сил,
приложенных к граням, перпендикулярным
осям х,
y
и z.
Тогда уравнение баланса энергии может
быть представлено в виде
(8.16)
Для жидкой и газовой среды уравнение энергии может быть также представлено в интегральной форме
,
(8.17)
где
-
элементарный объем и его контрольная
поверхность;
-
напряжение поверхностных сил;
-
количество теплоты, подводимое к единице
массы за единицу времени.